Question

求一道高中几何题，要详细过程，好的一定加分，谢谢

如图,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面边长为2根号2,侧棱长为根号6,E、F分别为AB,BC的中点，EF∩BD=G
（1）求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1；
（2）若H是D1D的中点，求证：GH⊥平面B1EF

Answer 1

 

如上图

1）证明，∵EF为AB和BC的中点，∴EF//AC

               ∵立体为正四棱柱，∴ABCD为正方形，即AC⊥BD，∴EF⊥BD

              ∵立体为正四棱柱，∴棱线⊥底面，即BB1⊥面ABCD，∴BB1⊥该面上所有的线

             ∵EF属于面ABCD，∴BB1⊥EF

             ∵EF⊥BB1，且EF⊥BD，且BD与BB1相交于B点

           ∴EF⊥面BDD1B1，∴通过线EF的所有的面都垂直于面BDD1B1

           ∴平面B1EF⊥平面BDD1B1。

2）GH平方=HD平方+DG平方=（根号6/2）平方+（0.75*BD）平方=3/2+（0.75*根号（AB平方+BD平方））平方=3/2+（0.75*根号（8+8））平方=3/2+9

HB1平方=HD1平方+B1D1平方=3/2+BD平方=3/2+16

GB1平方=GB平方+BB1平方=（0.25根号（AB平方+BD平方））平方+（根号6）平方=7

∴GH平方+GB1平方=3/2+9+7=3*2+16=HB1平方

∴GH⊥GB1

又∵EF⊥面BDD1B1，∴EF⊥面BDD1B1

  因为GH属于面BDD1B1，∴EF⊥GH

∵EF⊥GH，且GH⊥GB1，且EF交GB1于G点，

∴EF垂直面B1EF。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 2

1) EF⊥BD, EF⊥D1D, 故EF⊥面BDD1B1，EF在面B1EF内，故面B1EF⊥面BDD1B1。
2）GH在面BDD1B1上，由1）知GH⊥EF。BD=4，BG=1, BB1=根号6,故B1G=根号7；B1D1=4，D1H=(根号6)/2，故B1H=根号(35/2)；DG=3，DH=(根号6)/2，故HG=根号(21/2)，故B1G^2+HG^2=B1H^2，故GH⊥B1G，又GH⊥EF，故GH⊥面B1EF。

Answer 3

不好意思，手机上打不好，明天电脑上发