Question

已知BC为⊙O的直径,AD⊥BC,垂足为D,弧AB=弧AF，BF与AD交于点E。求证：AE=BE

Answer 1

直径BC是弦AG的垂直平分线，
所以弧AB=弧BG。
AB=AF，根据同弦所对的弧相等，
有弧AB=弧AF。
于是弧BG=弧AF。
由于同弧所对的圆周角相等，
故∠BAG=∠ABF 即三角形AEB等腰。
因此AE=BE。

Answer 2

 

∵AD⊥BC

∴AB=BG

∴弧BG=弧AB=弧AF

∴∠BAG=∠ABF

∴AE=BE

Answer 3

解:以O为圆心,OB为半径,画出另一半圆,延长AD交圆于A',因为AA'垂直于直径BC,所以AA'被BC垂直平分,则弧BA'=弧BA=弧AF.连接AB,有:角BAA'=角ABF(弧等角等),那么三角形EAB为等腰三角形,故,AE=BE

Answer 4

连接AB，AF，OF，连接OA交BF于I，
由弧AB=弧AF，得AB＝AF，推出∠BOA＝∠AOF，
又由OA＝OB＝OF，得∠BAO＝∠OAF，推出OA⊥BF
推出∠OIB＝90度＝∠ODA，∠BOI＝∠DOA，OB＝OA，所以△OBI≌△OAD，推出∠OBI＝∠OAD，
又由OA＝OB，推出∠OBA＝OAB，就能够推出∠EBA＝∠EAB，从而得出AE＝BE。