Question

设集合A={x|x=a2-b2,a属于Z,b属于Z}。求证：对k属于Z,4k-2不属于A，2k-1属于A

Answer 1

第一个问题：
利用反证法。
假设4k－2∈A，则有：a^2－b^2＝4k－2＝偶数，∴a、b一定是偶数。
∴可令a＝2m、b＝2n，其中m、n都是整数。得：
a^2－b^2＝4m^2－4n^2＝4（m^2－n^2）＝4k－2。
显然，4（m^2－n^2）能被4整除，而4k－2不能被4整除，∴a^2－b^2＝4k－2是不能成立的。
∴4k－2不属于集合A。

第二个问题：
当a＝2m、b＝1时（m是整数），a^2－b^2＝4m^2－1＝2×（2m^2）－1。
令k＝2m^2，得：a^2－b^2＝2k－1。
∴2k－1∈集合A。