Question

已知函数f(x)=log2((x-1)/(x+1)),g(x)=2ax+1-a,又h(x)=f(x)+g(x)

⑴讨论h(x)的奇偶性；
⑵a=1时，求证h(x)在x属于（1，+∞）上单调递增，并证明函数h(x)有两个零点；
⑶若关于x的方程f(x）=log2g(x)有两个不相等实数根，求a的取值范围

Answer 1

f(x)=log(2)[(x-1)/(x+1)], g(x)=2ax+1-a, h(x)=f(x)+g(x)
1、f(-x)=log(2)[(-x-1)/(-x+1)]=log(2)[(x+1)/(x-1)]=-log(2)[(x-1)/(x+1)]=-f(x)
g(-x)=-2ax+1-a，若1-a=0，即a=1，则g(-x)=-g(x)，
∴h(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-h(x)，则h(x)为奇函数
若a={-log(2)[(x-1)/(x+1)]}/(2x)=-f(x)/(2x)，则g(x)=-f(x)+1+f(x)/(2x)
∴h(x)=f(x)+g(x)=1+f(x)/(2x)，此时，h(-x)=1+f(-x)/(-2x)=1-f(x)/(-2x)=1+f(x)/(2x)=h(x)
∴ 此时h(x)为偶函数
若a取上述两种情况之外的值，则h(x)为非奇非偶函数
2、a=1时，h(x)=f(x)+g(x)=log(2)[(x-1)/(x+1)]+2x=log(2)(x-1)-log(2)(x+1)+2x
求导得，h'(x)=1/[(x-1)ln2]-1/[(x+1)ln2]+2=1/ln2*[(x+1-x+1)/(x^2-1)]+2=2/[ln2*(x^2-1)]+2
x∈(1,+∞)，∴x^2-1>0，∴h'(x)>0，h(x)在(1,+∞)上为单调递增函数
∵f(1)->-∞, ∴h(1)->-∞，又h(x)在(1,+∞)上为单调增函数，
∴h(x)在(1,+∞)上必有且仅有一个零点
又当a=1时，h(x)为奇函数，由奇函数的对称性可知，h(x)在(-∞,-1)上必为单调增函数
∴h(x)在(-∞,-1)上必有且仅有一个零点 ∴函数h(x)有两个零点
3、f(x)=log(2)[(x-1)/(x+1)]=log(2)[g(x)] => g(x)=(x-1)/(x+1)=2ax+1-a
整理得 2ax^2+ax+2-a=0 方程有两个不相等实数根，则
△=a^2-4*2a*(2-a)>0 解得 a>16/9 或 a<0

Answer 2

那个2是在log的右下角吗？

追问

是的