Question

已知FX=ax的平方+bx+1(a,b为实数，a不等于0，X∈R） 1 当函数FX的图像过点（-1.0），且方程FX=0

有且只有一个根，求FX的表达式
2 在1的条件下，当X∈（-2，2）时，g(x)=fx-kx是单调函数，求实数K的取值范围
3 若FX= f(x) x＞0 当MN＜0，M+N＞0，且函数FX为偶函数时，
-f(x) x＜0
试判断Fm+Fn能否大于0

Answer 1

1、f(x)=ax^2+bx+1 过(-1,0)点，则a-b+1=0 =>b=a+1
方程F(x)=ax^2+(a+1)x+1=0只有一个根，则△=(a+1)^2-4a=(a-1)^2=0 =>a=1
∴b=a+1=2，∴f(x)=x^2+2x+1=(x+1)^2
2、g(x)=f(x)-kx=x^2+2x+1-kx=x^2+(2-k)x+1，求导得 g'(x)=2x+2-k
当x∈(-2,2)时，g(x)是单调函数，则有g'(x)>0或g'(x)<0
若g'(x)>0，即2x+2-k>0 => k<2x+2 => k≤-2
若g'(x)<0，即2x+2-k<0 => k>2x+2 => k≥6
∴实数k的取值范围为k≤-2或k≥6
3、MN<0，则M,N异号，M+N>0，则|M|>|N|
若M>0，则N<0，∴Fm=f(m)=am^2+bm+1，Fn=-f(n)=-an^2-bn-1
Fm+Fn=a(m^2-n^2)+b(m-n)+1-1=(m-n)[a(m+n)+b]
单凭此不足以判断Fm+Fn的大小，除非借用问题1的结果，即a=1,b=2
如此，则Fm+fn=(m-n)(m+n+2)
m>0,n<0 => m-n>0; 又m+n>0，∴Fm+Fn=(m-n)(m+n+2)>0
若M<0，则N>0，∴Fn=f(n)=an^2+bn+1，Fm=-f(m)=-am^2-bm-1
Fm+Fn=a(n^2-m^2)+b(n-m)+1-1=(n-m)[a(m+n)+b]=(n-m)(m+n+2)
m<0,n>0 => n-m>0; 又m+n>0，∴Fm+Fn=(n-m)(m+n+2)>0
∴无论如何，Fm+Fn总是大于0