Question

求证x²+y²+z²≥xy+yz+zx

Answer 1

不等式两边同时乘以2，得2（x²+y²+z²）≥2（xy+yz+zx）
去括号得：x²+y²+z²+x²+y²+z²≥xy+yz+zx+xy+yz+zx
x²+y²≥2xy，y²+z²≥2yz，x²+z²≥2zx，代入原式化简可得x²+y²+z²≥xy+yz+zx。

Answer 2

移项x²+y²+z²-xy-yz-zx>=0
两边乘2:2x²+2y²+2z²-2xy-2yz-2zx=（x-y）²+（y-z）²+（z-x）²>=0恒成立

Answer 3

∵2(x²+y²+z²)-2(xy+yz+xz)
=(x²+y²-2xy)+(y²+z²-2yz)+(x²+z²-2xz)
=(x-y)²+(y-z)²+(x-z)²
≥0
∴2(x²+y²+z²)≥2(xy+yz+xz)
∴x²+y²+z²≥xy+yz+zx