Question

在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列。

1.若b=2√3,c=2，求三角形ABC的面积。
2.若sinA,sinB,sinC成等比数列，试判断三角形ABC的形状。

Answer 1

1因A，B，C成等差数列
所以2B=A+C=180°-B
B=60°
由正弦定理
b/sinB=c/sinC
2√3/(√3/2)=2/sinC
sinC=1/2
所以C=30°
因此A=90°
△ABC的面积为
1/2*bc=1/2*2√3*2=2√3
2.sinA，sinB,sinC成等比数列，
所以sin^2B=sinAsinC
所以b^2=ac，又B=60°，
则cosB=1/2，
由余弦定理a^2+c^2-2accosB=b^2
所以a^2+c^2-ac=ac
所以（a-c)^2=0
所以a=c，又b^2=ac
所以a=b=c
因此△ABC的形状为等边三角形

Answer 2

1）解
A,B，C成等差数列，所以角B=180÷3=60°
由正弦定理b/sinB=c/sinC
得sinC=csinB/b=1/2
因为0＜C＜120°
所以C=30°
A=180-60-30=90°
所以三角形的面积=bc/2=2√3×2÷2=2√3
2）由
A,B，C成等差数列，所以角B=180÷3=60°

2B=A+C
sinA,sinB,sinC成等比数列
则sin²B=sinAsinC
就有1-cosAcosC-sinAsinC=0
即1-cos（A-C）=0
所以cos（A-C）=1
A=C
所以这个三角形是等边三角形

Answer 3

勾三股四玄五，直角三角形。

Answer 4

解：(1)acosc,bcosb,ccosa成等差数列，得：acosc+ccosa=2bcosb
先使用正弦定理对原式进行变形：a=2rsina,b=2rsinb,c=2rsinc(r为三角形外接圆半径)
代入有：2rsinacosc+2rsinccosa=2*2rsinbcosb
化简得：sinacosc+sinccosa=2sinbcosb
即：sin(a+c)=sin2b=sin(π-b)=sinb
又因为a,b,c是三角形内角，故有：
2b=π-b，解得b=π/3

Answer 5

dasd