Question

已知等边三角形ABC，P为三角形ABC外一点，连接PA,PB,PC。

已知等边三角形ABC，P为三角形ABC外一点，连接PA,PB,PC。（1）若角BPC为120度，求证PA等于PB+PC（2）若P为三角形内一点，角BPC为150度，猜想PA,PB,PC之间的关系，并证明（3）在（2）的条件下，若PA为5，三角形BPC的面积为3，PC大于PB，求PB和PC的长

Answer 1

（1）ABCP四点共圆。
由托勒密定理知AB*PC+AC*BP=AP*BC
∵AC=AB=BC ∴AP=BP+CP

（2）将△BPC以C为顶点顺时针方向旋转60°则BC与AC重合 P旋转后到了Q 连PQ
∠PCQ=60°，CP=CQ∴△CPQ为等边三角形
∠CQP=60°∴∠AQP=90°∴AQ²+PQ²=AP²
即BP²+CP²=AP²

（3）AP=5 ∴BP²+CP²=25
S△BPC=½BP*PC*sin∠BPC=¼BP*PC=3 ∴BP*PC=12
可以通过这两个式子解出BP=3 CP=4

不懂再问。