Question

在三角形ABC中，BA=BC，角BAC=α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ

(1)点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想角CDB的大小（用含α的代数式表示），并加以证明。
（2）对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ=QD，求出α的范围
在三角形ABC中，BA=BC，角BAC=α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ

Answer 1

你可以先画个图
（1）首先利用已知得出△APD≌△CPD，进而得出∠PAD+∠PQD=∠PQC+∠PQD=180°，即可求出；
（2）由（1）得出∠CDB=90°-α，且PQ=QD，进而得出∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°-2α，得出α的取值范围即可．
解：（1）连接PC，AD，
∵AB=BC，M是AC的中点，
∴BM⊥AC，
∴AD=CD，AP=PC，PD=PD，
在△APD与△CPD中，

AD=CD
∵ PD=PD
PA=PC
∴△APD≌△CPD，

∴AP=PC，∠ADB=∠CDB，∠PAD=∠PCD，
又∵PQ=PA，
∴PQ=PC，∠ADC=2∠CDB，∠PQC=∠PCD=∠PAD，
∴∠PAD+∠PQD=∠PQC+∠PQD=180°，
∴∠APQ+∠ADC=360°-（∠PAD+∠PQD）=180°，
∴∠ADC=180°-∠APQ=180°-2α，
∴2∠CDB=180°-2α，
∴∠CDB=90°-α；

（2）∵∠CDB=90°-α，且PQ=QD，
∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°-2α，
∵点P不与点B，M重合，
∴∠BAD＞∠PAD＞∠MAD，
∴2α＞180°-2α＞α，
∴45°＜α＜60°．
如有问题请追问或Hi我
谢谢采纳！

Answer 2

2）∵点P不与点B，M重合，
∴∠BAD＞∠PAD＞∠MAD，
∵P点是动点，∠BAD最大为2α，∠MAD最大等于α，
∴2α＞180°-2α＞α，
∴45°＜α＜60°．