Question

等差数列an中，a1＞0，Sn是前n项的和，且S15=S25

等差数列an中，a1＞0，Sn是前n项的和，且S15=S25，(1)当Sn最大时，求n的值
(2) sn取得最小正值的时候，问n的值

Answer 1

由题可知公差d小于0
且S15=S25
s15=15*a1+15*(15-1)d/2=15a1+105d
S25=25*a1+25*(25-1)d/2=25a1+300d
15a1+105d=25a1+300d
10a1+195d=0
当Sn最大时，则an>0,a(n+1)<0
因为
10a1+195d=0

a1+19.5d=0
an=a1+(n-1)d=(n-1)d-19.5d>0
因为d<0
n-1<19.5
n<20.5
a(n+1)=a1+nd=nd-19.5d<0
n>19.5
故n=20
2)
Sn>0,S(n+1)<0
Sn=na1+n(n-1)d/2=n*(-19.5d)+n(n-1)d/2>0
n(n-1)d-39nd>0
nd-d-39d>0
nd-40d>0
n<40
S(n+1)=(n+1)a1+n(n+1)d/2=(n+1)*(-19.5d)+n(n+1)d/2<0
n(n+1)d-(n+1)*39d<0
nd<39d
n>39
可见n=40，s40<0
n=39时，S39>0,故S39为最小正值

追问

S1和S39是相等的

追答

S1和S39是相等的
S39-S1=39a1+39*(39-1)d/2-a1=38a1+39*19d=19(2a1+39d)
因为上面算了一下：a1+19.5d=0，2a1+39d＝0
故S39-S1＝0