Question

一元二次不等式的解法，请写出求解过程与思路，详细一点，谢谢

已知关于x的不等式（a2-1）x2+2（a-1）x-1＜0的解集是R，求实数a的取值范围。
急啊，帮帮忙啦，你动一小下脑筋，会是我最大的安慰

Answer 1

解析，
①当a=1时，(a²-1)x²+2(a-1)x-1=-1<0，故恒成立，满足题意。
②当a=-1时，(a²-1)x²+2(a-1)x-1=-4x-1<0，它的解集是x>-1/4，不满足题意，舍去，
③要使不等式(a²-1)x²+2(a-1)x-1<0的解集为R，那么，a²-1<0，-1<a<1
也就是，(1-a²)x²-2(a-1)x+1>0，那么△<0,故，△=8a²-8a<0，那么，0<a<1,
故，0<a<1.
综上所述，0<a≤1
这是正确的答案来的。
首先先分析一下这个式子，我们是已知不等式的解集而求实数的范围，所以我们要先分析x的求解过程。其中a²-1=（a+1)*(a-1)，所以当a=1时和a=-1时的结果是不同的，也就有①和②这两步啦。对于③，不等式的一个图像是一元二次图像，要是不等式成立，而且解集为R，则图像必须是开口向下，所以a²-1<0。而△<0是判断有无解的。

Answer 2

因为原不等式解集为R，所以当a^2-1不等于0时，必须

a^2-1 <0 ---------------------------------(1)

且[2(a-1)]^2 -4(a^2-1)(-1) <0----------(2)
由(1)得-1<a<1
由(2)得a(a-1) <0，即0<a<1
解得0<a<1
另当a^2-1=0时，若a=-1，-4X-1 <0解集不为R；若a=1, 则-1<0恒成立
综合以上，a的取值范围是(0 ,1]；或写成0 <a <=1

追问

很好，我基础差，唯一不能理解的就是：
“由(1)得-1<a<1
由(2)得a(a-1) <0，即0<a<1”
由（1）（2）为什么会的出这样的结论？

追答

(1)可因式分解为(a+1)(a-1) <0
用根轴法，得-1<a<1
或者详细分析下：当a≤-1是，a+1≤0，a-1＜0，那么(a+1)(a-1)≥0
同样，a≥1时，a+1≥0，a-1＞0，(a+1)(a-1)≥0
所以小于0的一元二次不等式，解为两个根之间
(2)类似，两根为0和1，所以解为0<a<1

Answer 3

解析，
①当a=1时，(a²-1)x²+2(a-1)x-1=-1<0，故恒成立，满足题意。
②当a=-1时，(a²-1)x²+2(a-1)x-1=-4x-1<0，它的解集是x>-1/4，不满足题意，舍去，
③要使不等式(a²-1)x²+2(a-1)x-1<0的解集为R，那么，a²-1<0，-1<a<1
也就是，(1-a²)x²-2(a-1)x+1>0，那么△<0,故，△=8a²-8a<0，那么，0<a<1,
故，0<a<1.
综上所述，0<a≤1