Question

已知，如图四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90，∠BAD=60,PA平分∠BAD,PD平分∠ADC.

（1）求证：PB=PC;
(2)点M、N为线段AB、AD上两点，当∠MPN=60,PD=2时，求△AMN的周长.

Answer 1

第一个问题：
过P作PQ⊥AD交AD于Q。
∵AB∥CD、∠B＝90°，∴∠C＝90°。
∵P在∠BAQ的平分线上，又PB⊥AB、PQ⊥AQ，∴由角平分线性质，有：PB＝PQ。······①
∵P在∠CDQ的平分线上，又BC⊥DC、PQ⊥DQ，∴由角平分线性质，有：PC＝PQ。······②
由①、②，得：PB＝PC。

第二个问题：
延长MB至E，使BE＝QN。
∵∠BAQ＝60°、∠ABP＝∠AQP＝90°，∴∠BPQ＝360°－∠BAQ－∠ABP－∠AQP＝120°。
∵∠MPN＝60°、∠BPQ＝120°，∴∠BPM＋∠QPN＝60°。
∵PB＝PQ、BE＝QN、∠PBE＝∠PQN＝90°，∴△PBE≌△PQN，∴PE＝PN、∠BPE＝∠QPN。

由∠BPM＋∠QPN＝60°、∠BPE＝∠QPN，得：∠BPM＋∠BPE＝60°，∴∠MPE＝60°。
∵PB＝PB、PE＝PN、∠MPE＝∠MPN＝60°，∴△MPE≌△MPN，∴ME＝MN，
∴BM＋BE＝MN，∴BM＋QN＝MN，∴AM＋AN＋MN＝AM＋AN＋BM＋QN＝AB＋AQ。
∴△AMN的周长＝AB＋AQ。

∵AB∥CD、∠BAQ＝60°，∴∠CDQ＝120°，又PD平分∠CDQ，∴∠PDC＝60°。
∵∠PDC＝60°、∠C＝90°、PD＝2，∴PC＝√3，∴PB＝PQ＝√3。
∵∠BAQ＝60°、PA平分∠BAQ，∴∠PAB＝∠PAQ＝30°。
∵∠PAB＝∠PAQ＝30°、∠B＝∠AQP＝90°、PB＝PQ＝√3，∴AB＝AQ＝3。
∴△AMN的周长＝AB＋AQ＝6。

Answer 2

1）角BAP=角PAD=30度
角ADC=360度-60度-90度-90度=120度
角PDA=角PDC=60度
于是叫APD=90度
那么AP：PD=根号3：1
BP=1/2AP PC=（根号3）/2PD
所以BP=PC
2）暂时不会了