Question

如图,在四边形ABCD中,∠BAD=45°,∠BCD=90°,CA平分∠BCD

Answer 1

（1）AC=√2AE
证明：从A作AM⊥BC，交CB延长线于M；作AN⊥CD，交CD延长线于N
因为A在∠BCD平分线上，所以AM=AN
四边形AMCN有三个直角，所以为矩形
且邻边相等，因此是正方形，
将△AND绕点A顺时针旋转90度，使AN与AM重合，得到△AMP
∠BAD=45，所以∠NAD+∠BAM=45
根据旋转，∠MAP=∠NAD，所以∠MAP+∠BAM=45
即∠PAB=∠BAD=45
又有AP=AD，AB=AB
所以△PAB≌△DAB，BP=BD；∠ABP=∠ABD
BA平分∠PBD
所以AE=AM
AC为正方形AMCN对角线，因此AC=√2AM=√2AE
（2）由（1）结论，AMCN为正方形
AC=6√2，所以AM=AN=6，S正方形AMCN=36
因为BP=BM+PM=BM+DN，所以BM+DN=BD
S△ABM+S△ADN=1/2×AM×BM+1/2×AN×DN=1/2×AM×（BM+DN）
S△ABD=1/2×AE×BD
所以S△ABM+S△ADN=S△ABD，
S△ABM+S△ADN+S△ABD=2S△ABD=2×1/2×6×5=30
S△BCD=S正方形AMCN-2S△ABD=6