Question

已知函数f(x)=b㏑x，g（x)=ax²-x²(a，b∈R）

①若曲线f(x)与g（x)在公共点A(1,0)处有相同的切线，求实数a，b的值
②当b=1时，若曲线f（x)与g（x)在公共点P处有相同的切线，求证；点P唯一
③若a＞0，b=1，且曲线f(x)与g（x)总存在公切线，求证实数a的最小值

Answer 1

①若曲线f(x)与g（x)在公共点A(1,0)处有相同的切线，求实数a，b的值
说明斜率相等：
f'(x)=b/x g'(x)=2ax+2x
k1=b/1=b k2=2a+2
k1=k2
b=2a+2
将(1,0)代入g(x)=ax^2-x^2 0=a-1 a=1
b=2*1+2=4
②当b=1时，若曲线f（x)与g（x)在公共点P处有相同的切线，求证；点P唯一
f(x)=lnx g(x)=ax^2-x^2
f'(x)=1/x g'(x)=2ax-2x
切线相同，则：1/x=2ax-2x 2ax^2-2x^2=1 x^2=1/(2a-2)
所以此时：P点(x0,y0）
y0=ax0^2-x0^2=x0^2(a-1)=1/(2a-2)*(a-1)=1/2
纵坐标y0=1/2,
则y0=lnx0 x0=e^(1/2)
只有一个公共的P点，且为(e^(1/2),1/2)

③若a＞0，b=1，且曲线f(x)与g（x)总存在公切线，求证实数a的最小值
切点是(e^1/2,1/2), 则： x0^2=1/(2a-2)
e=1/(2 a-2)
2a-2=1/e
a=(2+1/E）/2

追问

第一题这儿，“将(1,0)代入g(x)=ax^2-x^2 “不太明白

Answer 2

第三问的解法二：

Answer 3

求导f'(x)=2-a/x
曲线f(x)在点(1,f(1))处切线切线方程2x+y-6=0
那么有f(1)=2-aln1+b=-(2*1-6)
f'(1)=2-a/1=-2
得到a=4,b=2.

追问

能给稍微详细一点的答案吗

追答

看图。

追问

剩下两问能解下吗，主要是后两问

追答

（Ⅱ）设，则由题设有 … ①又在点有共同的切线
∴代入①得 …………5分
设，则，
∴在上单调递增，所以 ＝0最多只有个实根，
从而，结合（Ⅰ）可知，满足题设的点只能是 …………………7分
（Ⅲ）当，时，，，
曲线在点处的切线方程为，即．
由，得 ．
∵ 曲线与总存在公切线，∴ 关于的方程，
即 总有解． …………………9分
若，则，而，显然不成立，所以 ． ………10分
从而，方程可化为 ．
令，则．
∴ 当时，；当时，，即 在上单调递减，在上单调递增．∴在的最小值为，
所以，要使方程有解，只须，即．a≥1