Question

已知x²＋y²=1,求证：x/(1+y)－y/(1+x)=2(x－y)/1+x+y

要过程
注意运用有关比例的知识（比如和比性质之类的）

Answer 1

∵x^2＋y^2＝1，　∴x^2＝1－y^2＝（1＋y）（1－y），　∴x/（1＋y）＝（1－y）/x，
∴由等比定理，有：x/（1＋y）＝（1＋x－y）/（1＋x＋y）。······①

∵x^2＋y^2＝1，　∴y^2＝1－x^2＝（1＋x）（1－x），　∴y/（1＋x）＝（1－x）/y，
∴由等比定理，有：y/（1＋x）＝（1－x＋y）/（1＋x＋y）。······②

①－②，得：
x/（1＋y）－y/（1＋x）
＝［（1＋x－y）－（1－x＋y）］/（1＋x＋y）
＝2（x－y）/（1＋x＋y）。

∴ x/（1＋y）－y/（1＋x）＝2（x－y）/（1＋x＋y）。

追问

您们的答案似乎不太一样

追答

有什么不对吗？是你的题目最后处没有注意括号的使用吧！

追问

您误会了。我的意思是你和你楼上的答案不一样，或者说，您能否指出他的错误

追答

两人的答案不一致是正常的，所谓殊途同归啊。
千分一晓生的答案也是正确的。只是他的答案有点苦算的味道。

追问

他的是：X/(1+Y)-Y/(1-X)=2(X-Y)/(X+Y+1) 你的是 x/（1＋y）－y/（1＋x）＝2（x－y）/（1＋x＋y）（有一处符号不同，您仔细看一下

追答

那是他不小心写错了一个符号。笔误！思路是正确的。

Answer 2

∵(X+Y+1)²=X²+Y²+1+2X+2Y+2XY=2+2X+2Y+2XY=2(1+X+Y+XY)
∴(X+Y+1)/(1+X+Y+XY)=2/(X+Y+1)
∴(X-Y)(X+Y+1)/(1+X+Y+XY)=2(X-Y)/(X+Y+1)
∴(X+X²-Y-Y²)/(1+X)(1+Y)=2(X-Y)/(X+Y+1)
∴[X(1+X)-Y(1-Y)]/(1+X)(1+Y)=2(X-Y)/(X+Y+1)
∴X/(1+Y)-Y/(1-X)=2(X-Y)/(X+Y+1)