Question

一道初中数学题（有图）

如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=45°，AB=10cm，CD=4cm.等腰直角三角形PMN的斜MN=10cm，A点与N点重合，MN和AB在一条直线上，设等腰梯形ABCD不动，等腰直角三角形PMN沿AB所在直线以1cm/s的速度向右移动，直到点N与点B重合为止.
⑴等腰直角三角形PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重叠部分的形状由
形变化为 形；
⑵设当等腰直角三角形PMN移动x(s)时，等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积为y(cm2)，求y与x之间的函数关系式；
⑶当x=4(s) 时，求等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积.
请写出证明过程

Answer 1

(1)由等腰直角三角形变为等腰梯形

 

（2）下图是三角形在运动中的临界情况

由图可知当X>6时重叠部分由三角形变为梯形，所以

 

y=x^2/4 (x<=6)

 

y=3x-9 (6<x<=10)

 

(3)因为x<6,所以

y=x^2/4=4*4/4=4

 

 

 

Answer 2

解：（1）等腰直角三角形；等腰梯形（答出三角形，梯形也给分）．（2分）
（2）当D点在PN上时，DN∥BC，NA=AB-CD=10-4=6，
等腰直角三角形PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重叠部分图形的形状可分为以下两种情况：
①当0≤x≤6时，重叠部分的形状为等腰直角三角形EAN（如图①）．（3分）
此时AN=x（cm），过点E作EH⊥AB于点H，则EH平分AN，
∴EH=1/2 AN=1/2 x，（4分）
∴y=S△ANE=1/2 AN•EH=1/2 x•1/2 x=1/4 x²．（6分）
②当6＜x≤10时，重叠部分的形状是等腰梯形ANED（如图②）．（7分）
此时，AN=x（cm），
∵∠PNM=∠B=45°，
∴EN∥BC，
∵CE∥BN，
∴四边形ENBC是平行四边形，CE=BN=10-x，DE=4-（10-x）=x-6．（8分）
过点D作DF⊥AB于F，过点C作CG⊥AB于G，
则AF=BG，DF=AF=1/2 （10-4）=3，（9分）
∴y=S梯形ANED=1/2 （DE+AN）•DF=1/2 （x-6+x）×3=3x-9．（10分）
（3）当等腰直角三角形PMN移动到PN边经过点D时，移动时间为6（s），
∴当x=4（s）时，y=1/4x²=1/4 ×4²=4．
∴当x=4（s）时，等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积是4cm²

Answer 3

⑴等腰直角三角形PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重叠部分的形状由（等腰直角三角形） 变化为（等腰梯形）；
⑵设当等腰直角三角形PMN移动x(s)时，等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积为y(cm2)，求y与x之间的函数关系式；
首先解等腰梯形，由∠A=45°，AB=10cm，CD=4cm
可以求出：腰AD=3√2, 梯形的高为3
（1）当PN经过点D时，三角形ADN是等腰直角三角形，AN=√2AD=6，

所以当0≤x≤6时，重叠部分是一个等腰直角三角形，其面积等于AN乘以AN边上的高，
因为是等腰直角三角形，所以AN上的高等于1/2 AN.
所以y=1/2*AN*1/2AN=1/4X^2
(2)当6＜x≤10时，重叠部分是等腰梯形，以第三个图为例，
因为AN=x,所以NB=10-X,所以重叠部分梯形上底=4-（10-x)=x-6
所以，y=1/2 (x-6+x)*3=3x-9
⑶当x=4(s) 时，求等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积.
将x=4代入（2）中的第一个解析式，解得：y=4

追问

为什么是等腰直角三角形而不是等腰三角形

追答

因为两个底角都是45度

Answer 4

⑴等腰直角三角形PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重叠部分的形状由三角
形变化为 等腰梯形；
⑵设当等腰直角三角形PMN移动x(s)时，等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积为y(cm2)，y与x之间的函数关系式；
AN=X*1=X
y=x^2/2 (x<=3)
y=3x-9/2 (3<x<=10)
⑶当x=4(s) 时，等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积
4*1=4
s=3*4-9/2=15/2 cm2.

Answer 5

(1)由 等腰直角三角形 变化为 等腰梯形 ；
(2)
当D点在PN上时，DN∥BC，NA=AB-CD=10-4=6，
等腰直角三角形PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重叠部分图形的形状可分为以下两种情况：
①当0≤x≤6时，设PN和DA交点为E。重叠部分的形状为等腰直角三角形EAN
此时AN=x（cm），过点E作EH⊥AB于点H，则EH平分AN，
∴EH=1/ 2 AN=1/ 2 x
∴y=S△ANE=1/ 2 AN•EH=1/ 2 x•1 /2 x=1/ 4 x²
②当6＜x≤10时，设PN和CD的交点为E。重叠部分的形状是等腰梯形ANED
此时，AN=x（cm），
∵∠PNM=∠B=45°，
∴EN∥BC，
∵CE∥BN，
∴四边形ENBC是平行四边形，CE=BN=10-x，DE=4-（10-x）=x-6．
过点D作DF⊥AB于F，过点C作CG⊥AB于G，
则AF=BG，DF=AF=1 /2 （10-4）=3
∴y=S梯形ANED=1 /2 （DE+AN）•DF=1/ 2 （x-6+x）×3=3x-9
（3）
当等腰直角三角形PMN移动到PN边经过点D时，移动时间为6（s），
∴当x=4（s）时，y=1 /4 x²=1/ 4 ×4²=4．
∴当x=4（s）时，等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积是4cm²