Question

设｛an｝的公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，且a5.a3.a4成等差数列，求数列｛

{an}公比

Answer 1

设公比为q
因为a5.a3.a4成等差数列
所以2a3=a5+a4
即2a1q²=a1q^4+a1q^3
→q²+q-2=0
(q+2)(q-1)=0
因为公比q不为1
所以q=-2

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追问

还有第二问
证明对任意k(正数），S(k+2),Sk,S(k+1)成等差数列

追答

Sk=a1*[1-(-2)^k]/[1-(-2)]=a1*[1-(-2)^k]/3
S(k+1)=a1*[1-(-2)^(k+1)]/[1-(-2)]=a1*[1-(-2)^(k+1)]/3
S(k+2)=a1*[1-(-2)^(k+2)]/[1-(-2)]=a1*[1-(-2)^(k+2)]/3

2Sk=2a1*[1-(-2)^k]/3=2a1/3+(-2)^(k+1)/3

S(k+2)+S(k+1)=a1*[1-(-2)^(k+2)]/3+a1*[1-(-2)^(k+1)]/3
=2a1/3+2*(-2)^(k+1)/3-(-2)^(k+1)/3
=2a1/3+(-2)^(k+1)/3
因为2Sk=S(k+2)+S(k+1)。
所以对任意k(正数），S(k+2),Sk,S(k+1)成等差数列

Answer 2

(1)设公比为q。
a3=a1q^2、a4=a1q^3、a5=a1q^4。
因为a5、a3、a4成等差数列。
所以，2a1q^2=a1q^4+a1q^3。
因为a1、q均不为0。
所以可整理得：q^2+q-2=0。
即(a-1)(q+2)=0。
因为q不为1，所以q=-2。
(2)Sk==a1*[1-(-2)^k]/3
S(k+1)=a1*[1-(-2)^(k+1)]/3
S(k+2)=a1*[1-(-2)^(k+2)]/3

2Sak=2a1*[1-(-2)^k]/3=2a1/3+(-2)^(k+1)/3
S(k+2)+S(k+1)=a1*[1-(-2)^(k+2)]/3+a1*[1-(-2)^(k+1)]/3
=2a1/3+2*(-2)^(k+1)/3-(-2)^(k+1)/3
=2a1/3+(-2)^(k+1)/3
所以2Sk=S(k+2)+S(k+1)。
因此，对任意正整数k，都有S(k+2)、Sk、S(k+1)成等差数列。

Answer 3

（1）解：设{an}的公比为q（q≠0，q≠1）
∵a5，a3，a4成等差数列，∴2a3=a5+a4，
∴2a1q2=a1q4+a1q3
∵a1≠0，q≠0，
∴q2+q-2=0，解得q=1或q=-2
∵q≠1，
∴q=-2
（2）证明：对任意k∈N+，Sk+2+Sk+1-2Sk=（Sk+2-Sk）+（Sk+1-Sk）=ak+2+ak+1+ak+1=2ak+1+ak+1×（-2）=0
∴对任意k∈N+，Sk+2，Sk，Sk+1成等差数列．

Answer 4

解：（1）数列{an}是公比不为1的等比数列且a5,a3,a4成等差数列，则2a3=a4+a5，即q^2+q-2=0,解得q=1(舍）或q=-2

Answer 5

如图所侍