Question

已知等比数列{an}的首项为4/3，公比为－1/3，其前n项和为Sn，若A≤Sn－1/Sn≤B对n

已知等比数列{an}的首项为4/3，公比为－1/3，其前n项和为Sn，若A≤Sn－1/Sn≤B对n
∈N*恒成立，则B－A的最小值为

Answer 1

易知Sn=1-(-1/3)^n
在n∈N*内，Sn>0,而我们知道
y=x和y=-1/x在x>0上都是增函数
所以y=x-1/x在x>0上是增函数
也就是说Sn-1/Sn在Sn>0上是递增的
当n为奇数，Sn=1+1/3^n,最大值是4/3,最小值是1
当n为偶数，Sn=1-1/3^n,最大值是1，最小值是1-1/9=8/9
所以Sn最大值是4/3,最小值是8/9
所以(Sn-1/Sn)max=4/3-1/(4/3)=7/12
(Sn-1/Sn)min=8/9-1/(8/9)=-17/72
所以B-A的最小值是7/12-（-17/72）=59/72