Question

已知等比数列{an}的首项为2，公比为3，前n项和为Sn，若log3[12an?（S4m+1）]=9，则1n+4m的最小值是______

已知等比数列{an}的首项为2，公比为3，前n项和为Sn，若log3[12an?（S4m+1）]=9，则1n+4m的最小值是______．

Answer 1

∵等比数列{a_n}的首项为2，公比为3，前n项和为S_n，
∴a_n=2?3^n-1；S_n=3ⁿ-1，
∵log₃[

1

2

a_n?（S_4m+1）]=9，
∴（n-1）+4m=9，
∴n+4m=10，
∴

1

n

+

4

m

=

1

10

（n+4m）（

1

n

+

4

m

）=

1

10

（17+

4n

m

+

4m

n

）≥

1

10

（17+8）=2.5
当且仅当m=n=2时取等号，
∴

1

n

+

4

m

的最小值是2.5．
故答案为：2.5．