Question

设函数f(x)=aln x-bx^2(x>0)

(1)若函数f(x)在x=1处与直线y=-（1/2)相切，①求实数a,b的值
②求函数f（x)在[1/e,e]上的最大值‘
（2）当b=0时，若不等式f(x)>=m+x对所有的a∈[0,3/2],x∈[1,e^2]都成立，求实数m的取值范围

Answer 1

1）解：y‘=a/x-2bx得a-2b=0，
aln1-b=-（1/2）
所以a=1，b=1/2
由上知y=lnx-(1/2)x^2 y’=1/x-x
令y'=0得x=1(x>0)
所以当x=1/e时y=-1-(1/(2ex^2))
当x=1时y=-(1/2)
当x=e时y=1-(e^2)/2
故函数f（x)在[1/e,e]上的最大值为-(1/2)
2)有事，不好意思了，导数知识可解，动动脑，你能想出来的

Answer 2

先将f（x）求导得：a/x-2bx=0，再因为当x=1时，f（x)=-1/2,所以a=1，b=1/2
令f‘（x）=1/x-x=0，得x=土1，而x=1是局部最大值，所以最大值为-1/2
因为f(x)>=m+x对所有的a∈[0,3/2],x∈[1,e^2]都成立，化简得aln x-x>=m对所有的a∈[0,3/2],x∈[1,e^2]都成立，因为Inx恒大于0，所以a取0，则x取e^2，所以最后m小于等于-e^2

Answer 3

（1）解：因为y'=a/x-2bx
得a-2b=0，
aln1-b=-（1/2）
所以a=1，b=1/2
由上知y=lnx-(1/2)x^2 y'=1/x-x
令y'=0得x=1(x>0)
所以当x=1/e时y=-1-(1/(2ex^2))
当x=1时y=-(1/2)
当x=e时y=1-(e^2)/2
故函数f（x)在[1/e,e]上的最大值为-(1/2)