Question

判断函数f（x）＝x＋1/x 在区间（0，＋∞）上的单调性，并求出函数的值域．

我觉得它的分类讨论不够严密，它的过程是
任取x1，x2∈（0，＋∞），且x1＜x2，
且当1≤x1＜x2时，x1x2－1＞0，
当0＜x1＜x2≤1时
x1x2＜1，x1x2－1＜0
比如说0<x1<=1,x2>1,也符合x1<x2的条件啊，那为什么不考虑这个情况呢？

Answer 1

因为f(x)在区间(0,1] 是单减，在区间[1, +∞) 是单增，所以只讨论x1, x2 同在区间 (0,1] 和 [1,+∞)的情况。

追问

你说的我不是很明白，能不能解释得更清楚、详细些。拜托了！！1

 

追答

判断函数的单调性，通常比较 f(x2)和f(x1)的大小。
如果在一个区间内，所有的x2>x1都有f(x2)>f(x1)成立，则说明f(x)是单增；如果f(x2)<f(x1)，则说明f(x)单减。
因为 f(x2)-f(x1)=(x2-x1)[1-1/(x1*x2)]=(x2-x1)(x1*x2-1)/(x1*x2)
当 x1, x2 在(0, 1] 时，x1x2-1<0 ，所以 f(x2)-f(x1)<0
即 f(x2)<f(x1).
即 f(x) 在 (0,1] 是单调递减。
同理，得 f(x)在[1, +∞) 是单调递增
也就是把 (0, +∞) 分成两部分 (0, 1], [1, +∞) , f(x) 在这两个区间的单调性不同。
如果 x1∈(0, 1], x2∈(1, +∞)，比较 f(x1) 和 f(x2) 的大小只能得出 f(x) 在 (0, +∞)不是单增，也不是单减的结论。