Question

可降阶微分方程 y"设法的问题 为什么要设成 y"=dp/dx 而不是pdp/dy

设法

已知y(0)=0 y’(0)=1 求(1+y’2)y’=y”
我是这么做的 做不出来 这是一个不显含有x的方程 设p=y’
则p=pdp/dy
带入得到 (1+p)p2=pdp/dy
à dy=dp/(1+p2) à 两边同时积分 y=arctanp+C
y=arctany’+C1 然后带入条件 C1=-1 但是这里我就不会了 因为y’在一个arctan函数中

Answer 1

你的方法也是可以的,得到：
y+c=arctanp
p=tan(y+c), 由y'(0)=1,得：c=π/4
dy/tan(y+c)=dx
dy* cos(y+c)/sin(y+c)=dx
d(sin(y+c))/sin(y+c)=dx
ln|sin(y+c)|=x+c1
sin(y+c)=c2e^x
由y(0)=0得：c2=sinc=√2/2
因此sin(y+π/4)=√2/2* e^x

你的做法及答案的做法都可行，因为这既是不显含x, 也是不显含y的微分方程。前者常用你的方法，后者常用答案的方法。