Question

已知函数f(x)=x^3+ax,如果当|x|<=3时，总有|f(x)|<=16成立，求实数a的取值范围

Answer 1

对f（x）进行求导
f＇（x）=3x²+a
对a分类讨论
因为
|x|<=3
所以x²≤9
故分3类
1/ a≥0
f＇（x）≥0恒成立
f（x)单调递增
f（x）max=f（3）=27+3a≤16
无解
2/ a＜-27
f＇（x）≤0恒成立
f（x)单调递减
f（x）max=f（-3）=-27-3a≤16
无解
3/ -27≤a＜0
令f＇（x）≥0
x≥√（-a/3）或x≤-√（-a/3）
此时f（x）只可能在极大值或端点处取到最大值
故同时使f（-√（-a/3））≤16， f（3）≤16
前一个式子化简后得到-a*√-a≤24√3
√-a≤2√3 故a≥-12
由后一个式子解得a≤-11/3
此时f（x）只可能在极小值或端点处取到最小值
f（√（-a/3））≤16， f（-3）≤16
解得前者恒成立，后者解得a≥-43/3
综上-12≤a≤-11/3

Answer 2

-三分之十一≤a≤-三分之四十三