为什么矩阵可逆，它的行向量组就线性无关，列向量组也线性无关？
矩阵P可逆说明P是满秩，也就是说P的行列式不等于0。列向量中没有哪一个可以由其他向量线性表示，即列向量线性无关。
P可逆，列（行）向量线性无关，P行列式不等于0，P满秩，P的特征值都不为0，这几个是等价命题。
矩阵可逆，则秩＝行向量个数＝列向量个数。矩阵的行向量组的秩等于行向量的个数，所以行向量组线性无关。同理，列向量组线性无关。
例：
扩展资料：
线性无关相关注意：
1、对于任一向量组而言,，不是线性无关的就是线性相关的。
2、向量组只包含一个向量a时，a为0向量，则说A线性相关; 若a≠0, 则说A线性无关。
3、包含零向量的任何向量组是线性相关的。
4、含有相同向量的向量组必线性相关。
5、增加向量的个数，不改变向量的相关性。(注意，原本的向量组是线性相关的)
6、减少向量的个数，不改变向量的无关性。(注意，原本的向量组是线性无关的）
7、一个向量组线性无关，则在相同位置处都增加一个分量后得到的新向量组仍线性无关。
8、一个向量组线性相关，则在相同位置处都去掉一个分量后得到的新向量组仍线性相关。
9、若向量组所包含向量个数等于分量个数时，判定向量组是否线性相关即是判定这些向量为列组成的行列式是否为零。若行列式为零，则向量组线性相关；否则是线性无关的。
参考资料：
矩阵P可逆说明P是满秩，也就是说P的行列式不等于0。列向量中没有哪一个可以由其他向量线性表示，即列向量线性无关。
P可逆，列（行）向量线性无关，P行列式不等于0，P满秩，P的特征值都不为0，这几个是等价命题。
矩阵可逆，则秩＝行向量个数＝列向量个数。矩阵的行向量组的秩等于行向量的个数，所以行向量组线性无关。同理，列向量组线性无关。
判断或证明 
①证明 
②找一个同阶矩阵 
③证明 
扩展资料：
在线性代数中，行向量是一个 1×n的矩阵，即矩阵由一个含有n个元素的行所组成即行向量。
行向量的转置是一个列向量，反之亦然。
所有的行向量的集合形成一个向量空间，它是所有列向量集合的对偶空间。
矩阵可逆的充分必要条件：
AB=E；
A为满秩矩阵（即r(A)=n）；
A的特征值全不为0；
A的行列式|A|≠0，也可表述为A不是奇异矩阵（即行列式为0的矩阵）；
A等价于n阶单位矩阵；
A可表示成初等矩阵的乘积；
齐次线性方程组AX=0 仅有零解；
非齐次线性方程组AX=b 有唯一解；
A的行（列）向量组线性无关；
任一n维向量可由A的行（列）向量组线性表示。
其实以上条件全部是等价的。
参考资料：百度百科——矩阵可逆
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矩阵P可逆说明P是满秩，也就是说P的行列式不等于0。列向量中没有哪一个可以由其他向量线性表示，即列向量线性无关。
矩阵可逆，则秩＝行向量个数＝列向量个数。矩阵的行向量组的秩等于行向量的个数，所以行向量组线性无关。同理，列向量组线性无关。
在线性代数中，行向量是一个 1×n的矩阵，列向量是一个n×1的矩阵。行向量的转置是一个列向量，反之亦然。
所有的1×n行向量的集合形成一个向量空间，它是所有n×1列向量集合的对偶空间。（对偶空间构造是行向量(1×n)与列向量(n×1)的关系的抽象化。这个结构能够在无限维度空间进行并为测度,分布及希尔伯特空间提供重要的观点。及可以拓展到无限维。）
扩展资料
性质：
1、一个m×n矩阵的列空间一定在R^m中。
2、一个m×n矩阵的列空间如果是R，若m等于n,那么这个矩阵一定可逆。
其实矩阵A乘向量x就是一个将向量x由A的行空间向A的列空间映射的运算。
假设在A(m×n)的行空间中有任一向量x，Ax=b ，那么b在A的列空间中。
3、增加向量的个数，不改变向量的相关性。(注意，原本的向量组是线性相关的)。
4、减少向量的个数，不改变向量的无关性。(注意，原本的向量组是线性无关的）。
参考资料来源：百度百科-矩阵可逆
P可逆，列（行）向量线性无关，P行列式不等于0，P满秩，P的特征值都不为0，这几个是等价命题。
