Question

已知a、b、c均为正整数，且满足a的平方+b的平方=c的平方，又a为质数，求证：①a、b两数必为一奇一偶；

②2(a+b+1)是完全平方数

Answer 1

①2是质数中唯一的偶数。假定a=2，则c^2-b^2=a^2=4，这时只有b=0、c＝2才能成立，这和b为正整数矛盾！所以a≠2。除2之外，其它质数均为奇数，假定a=2n+1，b=2m+1，m、n均为非负整数，a^2+b^2=4(m^2+n^2+m+n)+2=c^2，所以c^2能被2整除，但不能被4整除，这和c为整数矛盾，所以b不能是奇数，即b必为偶数，所以a和b必然是一奇一偶。②a^2=c^2-b^2=(c-b)(c+b)，由于a为质数，所以可设c-b=a^m，c+b=a^n，所以a^2=(c-b)(c+b)=a^(m+n)，所以m+n=2，由于m、n为非负整数，且n＞m，所以m=0，n=2，所以c-b=a^m=1，c+b=a^2，所以c=1+b=(1+a^2)/2，所以2(a+b+1)=2(a+c)=2(a+(1+a^2)/2)=(a+1)^2，所以2(a+b+1)是完全平方数(证毕)。

Answer 2

1、c²-b²=（c+b）（c-b）=a²
∵a为质数，故a²=1×a²或a²=a×a
若为a×a，则b=0，a=c，矛盾
故c+b=a²，c-b=1。
因为c+b与c-b奇偶性相同，故a²为奇数，即a为奇数
此时b=1/2(a²-1)为偶数
2、2（a+b+1）=2【a+1/2(a²-1)+1】=（a+1）²