Question

如图,梯形ABCD中,AD‖BC,对角线AC、BD相交于点M，且AC⊥AB，BD⊥CD过点A作AE⊥BC，垂足为E，交BD于点F。

求证： （1）AB²=BF×BD
（2）若BE=1 AB=根号5，求线段EF的长。

Answer 1

证明：(1)由AE⊥BC，AB⊥AC

∴(AB^2)=BE•BC

又∠FEC=∠FDC=90°

∴CDFE四点共圆(不用四点共圆证△BEF∼△BDC)

∴BE•BC=BF•BD

∴(AB^2)=BF•BD

(2)由(AB^2)=BE•BC⇒BC=((√(5))^2)/1=5

∴CE=5-1=4

(AE^2)=BE•EC=1×4⇒AE=2

因为(AB^2)=BF•BD⇒AB/BF=BD/AB

∠ABD=∠FBA

△BAD∼△BFA

∴∠BAF=∠BDA=∠EBF

∴RT△BEF∼RT△AEB

∴EF/BE=BE/AE⇒EF=(BE^2)/AE=(1^2)/2=1/2

【其实根据描述，用四点共圆容易证明四边形ABCD是等腰梯形】

 

Answer 2

见图

 

Answer 3