Question

数学归纳法证明1+1/2+1/3+……+1/2^n>n+1/2

1+1/2+1/3+……+1/2^n>（n+1）/2

Answer 1

令 f(n)=1+1/2+1/3+……+1/2^n
g(n)=(n+1)/2
原题成为f(n)>g(n)

当n=1时, f(n)=1+1/2=3/2 > g(n) = (1+1)/2, 原等式成立
下面证明对于任意n, 当f(n-1)>g(n-1)成立时, 恒有f(n)>g(n)成立
只需证明f(n)-f(n-1) > g(n)-g(n-1)即可
而g(n)-g(n-1) = (n+1)/2- ((n-1)+1)/2 =n/2+1/2 -(n/2)=1/2
现在只需证明f(n)-f(n-1)>1/2即可

f(n)-f(n-1)
=1/[2^(n-1)+1] + 1/[2^(n-1)+2] + ... + 1/2^n
共2^-2^(n-1)=2^(n-1)个, 其中1/2^n最小
则f(n)-f(n-1) > 1/2^n * 2^(n-1) =1/2
所以原不等式恒成立.

Answer 2

似乎你的这个有问题吧，n=1时，1+1/2=1+1/2;
n=2时，1+1/2+1/3+1/4=(1+7/12)+1/2<2+1/2。
个人意见哈。

追问

1+1/2+1/3+……+1/2^n>（n+1）/2

Answer 3

n=1时，1+1/2=1+1/2;
n=2时，1+1/2+1/3+1/4=(1+7/12)+1/2<2+1/2

Answer 4

2^n是2的n次方吗