Question

中心在原点，一焦点为F（0,5根号2）的椭圆被直线L:y=3x-2截得的弦的中点的横坐标为1/2，求椭圆方程

采纳过程最详细的

Answer 1

焦点F(0,5√2)在y轴上。
设椭圆方程为：y^2/a^2+x^2/b^2=1(a>b>0)。
c=5√2。
则a^2-b^2=c^2=50。
a^2=b^2+50。
所以，椭圆方程为：y^2/(b^2+50)+x^2/b^2=1。
将直线y=3x-2与椭圆方程联立得：(10b^2+50)x^2-12b^2x-b^4-46b^2=0。
设直线L与椭圆交于A(x1,y1)、B(x2,y2)。
由韦达定理得：x1+x2=12b^2/(10b^2+50)=6b^2/(5b^2+25)。
由题意知，AB的中点横坐标为(x1+x2)/2。
所以，(x1+x2)/2=3b^2/(5b^2+25)=1/2。
6b^2=5b^2+25、b^2=25。
所以，所求椭圆方程为：y^2/75+x^2/25=1。

Answer 2

根据已知条件可以设这个方程为：
X²/b²+y²/a²=1；
结合直线方程y=3x-2
推出：
（a²+9b²）x²-12b²x+4b²-a²b²=0
结合维达定理
x1+x2=-B/A
根据已知横坐标为1/2推出：
x1+x2=1
推出
x1+x2=12b²/（a²+9b²）=1
推出：
a²=3b²----------------------------⑴
已知焦点（0，5根号2），a²=b²+c²
推出：a²-b²=50--------------------⑵
⑴⑵结合推出 a²=75，b²=25
推出方程为
x²/75+y²/25=1