Question

y=x+√(1-x²)的值域

换元法

Answer 1

题目有点看不清楚
用三角换元
设x=cosA A属于【0，π】
则√(1-x²)=sinA
y=cosA+sinA=根号2倍的sin(A+π/4)
下面自己求，数学符号太麻烦了

Answer 2

这个函数定义域是[－1，1]，设：x=sinw，其中w∈[－π/2，π/2]，则：
y=sinx＋√(1－sin²x)
=sinx＋|cosx|
=sinx＋cosx
=√2sin(x＋π/4)
因为x＋π/4∈[－π/4，3π/4]，则：
sin(x＋π/4)∈[－√2/2，1]，则：y∈[－1，√2]

Answer 3

y=x+√(1-x²)
设 x=sint t∈[-π/2,π/2]
√(1-x²)=cost
则
y=sint+cost
=√2sin(t+π/4)
因为 t∈【-π/2,π/2】
所以 t+π/4∈[-π/4,3π/4]
y=√2sin(t+π/4)∈[-1,√2]
值域为 [-1,√2]