Question

【数学】O是△ABC内部的一点，向量OA+2向量OB+3向量OC=0向量，则△ABC和△OBC的面积比是？

过程。

Answer 1

解：延长OB到B'使OB'=2OB，延长OC到C'使OC'=3OC，反向延长OA到A'使OA=OA'，
连接AB'、AC'、B'C'、A'B'、A'C'。
由辅助线作法有： 向量OA+向量OA'=0 ； 向量OB’=2向量OB ； 向量OC'=3向量OC
∵向量OA+2向量OB+3向量OC=0
∴-向量OA'+向量OB'+向量OC'=0
在△OB'A'中，显然有： 向量OB'+向量B'A'=向量OA'
∴向量OC'=向量B'A'
同理在△OC'A'中，有： 向量OC'+向量C'A'=向量OA'
∴向量OB'=向量C'A'
∴四边形OB'A'C'为平行四边形
∵在△AB'A'中，O为AA'的中点
∴S△AB'O=S△A'B'O=1/2*(S四边形OB'A'C')=S△OB'C'
同理S△AC'O=S△A'C'O=1/2*(S四边形OB'A'C')=S△OB'C'
∴S△AC'O=S△OB'C'=S△AC'O，不妨设面积值S△OB'C'为t
∴S△OBC=1/2*OB*OC*sin∠BOC
=1/2*(1/2*OB')*(1/3*OC')*sin∠BOC
=1/6*S△OB'C'=1/6*t
∴S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△AOC
=1/2*S△AOB'+1/6*t+1/3*S△AOC'
=1/2t+1/6t+1/3t
=t
∴S△ABC/S△OBC=6 即△ABC和△OBC的面积比是6。

Answer 2

比是6

Answer 3

5