这道平面几何题求解！关于三角形内心。
下面是正题的证明，主要方法是相似和四点共圆：
证明：
若△ABC为正三角形，命题显然成立；
否则不妨设∠ABC<60°。
设射线BI、CI与直线DE分别交于P、Q，
∵∠BAC=60°，∴∠ABC+ACB=120°。
∵I为△ABC的内心，
∠PIQ=∠BIC=180°-(∠ABC+ACB)/2=120°，
∴∠IAB=∠IAC=∠BAC/2=30°，
∵DE垂直平分AI，
∴DA=DI，EA=EI，∠ADE=∠AED=60°，
∴AD=DI=IE=EA，四边形ADIE为菱形，
∴ID//AC，IE//AB，△IDE、△ADE为正三角形。
∴∠BIQ=∠BDQ=60°，∠CIP=∠CEP=60°，
∴B、I、D、Q四点共圆，B、I、D、Q四点共圆，
∴∠IQD=∠IBD=∠ABC/2<30°，
∠IPE=∠ICE=∠ACB/2>30°，
∠BQI=∠BDI=60°，∠CPI=∠CEI=60°，
∴△IBQ、△ICP为正三角形。
∴∠BQP+∠CPQ=(60°+∠ABC/2)+(60°+∠ACB/2)=180°
∴BQ//CP，∠BQP<90°，∠CPQ>90°，
分别以B、C为圆心，以BQ、CP为半径作弧
交直线DE于N、M，显然M在EP的延长线上
则∠BQN=∠BNQ=∠CPM=∠CMP
∴△BQN∽△CPM，△BQD∽△CPE，
设BQ=BI=IQ=b，CP=CI=IP=c，PM=x，EP=y，
则QN：x=b：c，QD：(bx/c+by/c)=b：c，
QN=bx/c，ND=QD=QN=b(x+y)/c-bx/c=by/c，
∵DI//EC，∴DE：(QN+ND)=IC：QI
∴DE=(bx/c+by/c)*c/b=x+y=EM
∵EI//DB，∴DE：EP=IB：PI
∴DE=y*b/c=DN
∴ND：DE：EP=BF：FG：GC
又∠BNQ=∠CMQ，∴BN//CM
根据引理BN//FD//GE//CM
题目太难，最主要的难点是：如何将三等分点用到证明中去。
设C(-a,sqrt3*a)，B(b,sqrt3*b)
L(BC):sqrt3*(a-b)x+(a+b)y-2sqrt3*ab=0
设I(0,x)，则I到BC距离为x/2。
有x/2=[(a+b)x-2sqrt3*ab]/[sqrt(3(a-b)^2+(a+b)^2] 参见点到直线距离公式
解出x。
E(sqrt3*x/3,x) D(-sqrt3*x/3,x)
G(-a+(a+b)/3,Y(L(BC_G))) F(-a+2(a+b)/3,Y(L(BC_F)))
然后写出EG、DF的斜率，相等。
式子太复杂了，敲不出来，就不打了。我手推过，可以写出来。
有没有初中几何推理法，这是初三的竞赛题。
下面可以算出AI和DE交点J坐标，然后计算D和E坐标，F和G由定比分点易得，故DF和EG可求，最后一步证kDF=kEG。思路这样，过程不写了。
我尝试用向量求解，但是由于中垂线DE不好处理，只好作罢了
有没有初中几何推理法，这是初三的竞赛题。
抱歉，多奥数不大了解
