Question

设X1=2,Xn+1=2+1/Xn,n>=1,求证当n趋于无穷时，极限Xn存在。

Answer 1

先求通项吧
我用<>表示下标。
X<n+1>=2+1/X<n>，两边同加待定参数q，
X<n+1>+q=2+q+1/X<n>=[(2+q)X<n>+1]/X<n>，两边取倒数，
1/(X<n+1>+q)=X<n>/[(2+q)X<n>+1]，
1/(X<n+1>+q)=1/(2+q)*{1/(2+q)^2 / [X<n>+1/(2+q)]}，
令q=1/(2+q)，可解出q，这里暂不解出。原式变成
1/(X<n+1>+q)=q-q^2/(X<n>+q)，令a<n>=1/(X<n>+q)，a<1>=1/(X<1>+q)，原式变为
a<n+1>=q-q^2*a<n>，两边同加p，用待定参数法得到p=-q/(q^2+1)时，a<n>+p是等比数列，公比是-q^2，即
(a<n+1>+p)=-q^2*(a<n>+p)，所以
a<n>+p=(a<1>+p)*(-q^2)^(n-1)
X<n>=1/{[1/(X<1>+q)+p](-q^2)^(n-1)-p}-q。
现在求出q，q=-1+sqrt(2)<1，或q=-1-sqrt(2)>1，
对于小于1的q，在n趋于无穷时(-q^2)^(n-1)趋于零（有界乘以无穷小还是无穷小），所以
limX<n>=-1/p-q=1/q=1+sqrt(2)，
对于大于1的q，在n趋于无穷时(-q^2)^(n-1)趋于无穷大，但因为在分母上，所以整个这一项为零，所以
limX<n>=-q=1+sqrt(2)，
结果无论q取哪个解limX<n>都等于1+sqrt(2)，即-无穷<limX<n><+无穷，所以极限X<n>存在。

Answer 2

此数列直接求通项即可，如图。

 

Answer 3

亲，你的题目应该有点问题吧。。。我觉得第二个条件应该是Xn和Xn-1的关系。。。