Question

请问函数f(x)=x^2能否用泰勒公式得到它的幂级数展开式，如果能展开它的具体展开形式是什么样的

Answer 1

f(x)=x^2 就是f(x)在x=0处的泰勒展开式。
因为：f(0)=f '(0)=f '''(0)=f '''...(0)=0;
只有：f ''(0)=2≠0
而泰勒展式为：f(x)=f(0)+f '(x)x+f ''(0)x^2/2+f '''(0)x^3/3!+......
代入之后：f(x) = 0+0+2x^2/2!+0+0+.....= X^2
因此：f(x)=x^2 的泰勒展开式就是它本身。
但是f(x)在x=1处展开，那么展开式的形式要有所变化：
f(x)=f(1)+f '(1)(x-1)+f ''(1)(x-1)^2/2!+f '''(1)(x-1)^3/3!+.....
之后要算出相应的值：f(1)=1,f '(1)=2,f ''(1)=2,f '''(1)=0,....
带入之后：f(x)=x^2=1+2(x-1)+2(x-1)^2/2+0+0+....
即： f(x)=1+2(x-1)+(x-1)^2 实际上，展开之后还是：x^2.
表明 f(x)=1+2(x-1)+2(x-1)^2/2 = x^2

追问

就是说能展开，但有无穷多项为0，可以这样理解么

追答

可以那么理解！

Answer 2

不能吧 求三次导 F（x）就等于0了