Question

数学几何证明题求教

在△ABC中，，∠ABC=∠BAC=50°，D为△ABC内一点，且∠DAB=10°，∠DBA=20°，求证∠ADC=90°
这是初中的题目，求教O(∩_∩)O~大家先自己算一下，确保能做出来的再给答案。或者有哪些想法也可以提出来讨论一下。
我现在先用三角函数解解看，确定一下题目有没有问题。O(∩_∩)O~

Answer 1

结论有误!∠ADC应该为80°.
解:作等边⊿ABE,点E与C在AB两侧,连接CE,则CE为四边形CAEB的对称轴.
∠ACE=(1/2)∠ACB=40°;∠AEC=(1/2)∠AEB=30°.
过点C作CF∥DB,交AD的延长线于F,连接BF和EF,则∠BCF=∠CBD=30°.
∴∠ACF=∠ACB+∠BCF=110°=∠EAC;∠CFA=∠FDB=∠DAB+∠DBA=30度=∠AEC.
又AC=CA.故⊿ACF≌⊿CAE(AAS),AE=CF;AF=CE;
且点E和F到AC的距离相等.(全等三角形对应边上的高相等).
∴AC∥EF;又AE=CF,则梯形AEFC为等腰梯形,AF=CE;
∵∠ECF=∠ACF-∠ACE=70度;∠CEF=∠ACE=40°.
∴∠EFC=180度-∠ECF-∠CEF=70°.
即∠EFC=∠ECF,得FE=CE=AF,∠FEA=∠FAE=70°,∠AFE=40°.
又AB=BE;BF=BF.
∴⊿AFB≌⊿EFB(SSS),∠AFB=∠EFB=20°.
∵∠BCF=∠FDB=30°.
∴点C,D,B,F四点共圆,∠DCB=∠DFB=20°,∠ACD=∠ACB-∠DCB=60°.
∴∠ADC=180°-∠ACD-∠CAD=80°.

Answer 2

由题意，
三角形ABC为等腰三角形。

则，
以底AB的中点为原点，建立直角坐标系。

因为题目没给长度，问的也都是角度。
所以我们可以自定AB长度为2。

则A(-1,0)，B(1,0)
OC为等腰三角形的高。
OC / OA = tan A
OC = tan 50
所以，C（0, tan 50)

令D坐标为(x,y)
过D作DE垂直于AB，
E则为(X,0)

三角形DEA 为 直角三角形
DE / AE = tan DAE
y / (x+1) = tan 10

三角形DEB 也为 直角三角形
DE / BE = tan DBE
y / (1-x) = tan 20

连立以上方程组，
解得
x = ( tan 20 - tan 10 ) / ( tan 20 + tan 10 )
y = 2 tan 10 tan 20 / ( tan 20 + tan 10 )

则，D点坐标已求出。
向量AD = [ ( tan 20 - tan 10 ) / ( tan 20 + tan 10 ) + 1] ， 2 tan 10 tan 20 / ( tan 20 + tan 10 )
向量CD = ( tan 20 - tan 10 ) / ( tan 20 + tan 10 ) ，[ 2 tan 10 tan 20 / ( tan 20 + tan 10 ) - tan 50 ]

计算两向量点积AD ·CD。

最后得到的结果是 0. 325
所以角ADC不为90度。

我又继续算了一下，
既然ACD三点坐标都已知，
我们可以用余弦解出角CDA的大小。

cos CDA = ( AD^2 + CD^2 - AC^2 ) / ( 2 * AD * CD )
=………………
经过计算器的计算。
cos CDA = 0.1736482

角 CDA = arccos(0.1736482) = 80°

所以这个角是80度的。

追问

同样谢谢，强大的计算能力( ⊙ o ⊙ )啊！

追答

好说好说。
全是Excel再帮忙而已……

Answer 3

 

 

X+Y=80                            (1)

X+Z=180-40=140             (2)

Y+30+(360-Z-150)=180

Y-Z+60=0                         (3)

解得

Z=90，Y=30，X=50

追问

错了呀，1、2就可以推出3了，两个式子怎么可能解出三个未知数呢？？？

Answer 4

这与其说是一道证明题，还不如说是一道计算题。
你把图画出来，通过计算，得出角ADC为90度就可以了。
你将D点画出，延长BD交与AC，延长AD交与BC，连接DC。
将其中所有的角度一一算出，就OK了。

追问

算不出来。求详细的步骤

Answer 5

∠ABC=∠BAC=50°，∠ACB=180°-2*50°=80°;AB/AC=sin80/sin50,AB=ACsin80/sin50
D为△ABC内一点，且∠DAB=10°，∠DBA=20°，∠BDA=180°-20°-10°=150°
AD/AB=sin20/sin150,AD=ABsin20/sin150=ACsin20sin80/(sin50sin150);
BD/AB=sin10/sin150,BD=ABsin10/sin150=ACsin10sin80/(sin50sin150)
∠DAC=50°-10°=40°，∠DBC=50°-20°=30°
CD/CB=

追问

用sin/cos是能做出来的吧，但是那是高中的知识了。这道题目是我初中时候做过的，但是现在忘记了作法。%>_<%