Question

如果a²+b²=1,c²+d²=1,且ac+bd=0，试证：ab+cd=0 （不能用三角函数）

Answer 1

因为 ac+bd=0
所以 a=-bd/c
所以 a^2+b^2=(-bd/c)^2+b^2=b^2*(d^2/c^2+1)
=b^2/c^2=1
于是 b^2=c^2
同理 a^2=d^2
于是 |ab|=|cd|
设P，Q是直角坐标系的2个点 P(a,b), Q(c,d)
由 ac=-bd 可知，P, Q分在相邻的两个象限中
故 a*b 与 c*d 异号，
因此 ab=-cd
于是 ab+cd=0 得证。

Answer 2

∵a^2＋b^2＝1、c^2＋d^2＝1，　∴（a^2＋b^2）－（c^2＋d^2）＝0，
∴（a^2－d^2）＋（b^2－c^2）＝0，　∴a^2－d^2＝－（b^2－c^2）。

∵ac＋bd＝0，　∴（ac）^2＋2abcd＋（bd）^2＝0，　∴2abcd＝－（ac）^2－（bd）^2。

而（ab＋cd）^2
＝（ab）^2＋2abcd＋（cd）^2＝（ab）^2＋（cd）^2－（ac）^2－（bd）^2
＝［（ab）^2－（bd）^2］＋［（cd）^2－（ac）^2］
＝b^2（a^2－d^2）＋c^2（d^2－a^2）＝（a^2－d^2）（b^2－c^2）＝－（b^2－c^2）^2≦0。
显然有：（ab＋cd）^2≧0。
∴由（ab＋cd）^2≦0、（ab＋cd）^2≧0，得：ab＋cd＝0。

注：本题若用三角代换，证明过程会简单很多。方法如下：
∵a^2＋b^2＝1、c^2＋d^2＝1，
∴可令a＝cosA、b＝sinA；　c＝cosB、d＝sinB。
依题意，有：ac＋bd＝cosAcosB＋sinAsinB＝cos（A－B）＝0。
∴ab＋cd
＝cosAsinA＋cosBsinB＝（1/2）（sin2A＋sin2B）＝sin（A＋B）cos（A－B）＝0。