Question

拉格朗日中值定理证明这道题，谁会？？？

Answer 1

即证[(x+1)lnx-(1+1)ln1)]/(x-1)>2.设f(x)=(x+1)lnx，则f'=(x+1)/x+lnx，f(x)在(1,x)满足Lagrange定理，即[(x+1)lnx-(1+1)ln1)]/(x-1)=f'(z)=(z+1)/z+lnz, 1<z<x. 只需证明(z+1)/z+lnz>2, 即证g(z)=1/z+lnz>1. g(1)=1, g'=(z-1)/z^2>0， 故g(z)递增，即g(z)>1成立，故得证。

Answer 2

设：f(x)=lnx-2+4/(x+1)
f'(x)=1/x-4/(x+1)^2=((x+1)^2-4x)/x(x+1)^2=(x-1)^2/x(x+1)^2>0
由拉格朗日中值定理：
f(x)-f(1)=f'(c)(x-1)>0，c在1和x之间
f(x)>f(1)=0
lnx-2+4/(x+1)
lnx>2-4/(x+1) =2(x-1)/(x+1) （x>1）