Question

极限计算

这个东西为什么算得1？
要过程和文字说明
最好说的明白 详细点 有什么定理的话写出来

我才是高一学生
其实我是想要推导e^x或者a^x的倒数公式中间遇到的问题 所以尽量不要在说明过程中使用已经证明的这两个导数公式

Answer 1

这是常用极限之一，一般背过就行

证明用了另一个重要极限（1+1/n)^n=e,n趋于0，
把这个式子变形得到的——1+1/n=e^(1/n),e^(1/n)-1=1/n,再把1/n换成m就行了

（1+1/n)^n=e,n趋于0，是单调有界数列必有极限这个定理来证明的。首先说明那个数列是递增的，然后通过放缩可知其肯定小于3.然后直接给出了一个值e=2.718281828459045..
放缩的过程数字写的比较麻烦，涉及指数和二项展开式。你要上高一的话应该用不到这个吧，你可以翻翻微积分的书，上面有。

Answer 2

利用洛必达
洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
洛必达法则（定理）
　　设函数f(x）和F(x）满足下列条件：
　　⑴x→a时，lim f(x)=0,lim F(x)=0;
　　⑵在点a的某去心邻域内f(x）与F(x）都可导，且F(x）的导数不等于0;
　　⑶x→a时，lim(f'(x)/F'(x)）存在或为无穷大
则 x→a时，lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x))
=lim((e^m-1)’/m’)=lime^m=1

Answer 3

令：t = e^m -1 , m = ln(1+t) , m->0, t->0

lim(m->0) [e^m - 1]/m
=lim(t->0) t/ln(1+t)
=lim(t->0) 1/[ln(1+t)^(1/t)] (这里分子分母上下分别求导，洛必达法则)
=1/lne
=1

我貌似没用到这个求导公式

追问

是ln(1+t)求导得到ln(1+t)^(1/t)？
另外 为什么ln(1+t)^(1/t)取极限后等于Ine？

追答

额 应该是ln(1+t)求导得到1/(1+t) 搞错了

lim(t->0) t/ln(1+t)
=lim(t->0) (1+t)
=1

Answer 4

看f(x)=e^x-1和f(x)=x在(0，0)处的切线斜率
相等的 所以极限是1

Answer 5

lim(m -->0)e^m-1=0
lim(m-->0)m=0
利用格必达法则
lim(e^m-1)/m=lime^m=1