如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，且满足DE+BF=EF,延长CB至点G，使得GB=DE，连结AG
（2）如图2，在直角梯形ABCD中，AD平行BC，∠A=90°，AB=BC=10,点E是AB中点，连结DE、CE，∠DCE=45°，求梯形上底AD的长度
(3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，E、F分别为DC,BC上的点，试猜想当∠B+∠D=180°时，∠EAF与∠DAB满足什么数量关系时可使得DE+BF=EF. 展开
∴∠D=∠ABC=∠ABG=90°
AD=AB
DE=BG
∴△ADE≌△ABG
∴AG=AE
(2)∵△ADE≌△ABG
∴∠DAE=∠BAG
∵DE+BF=EF
∴BG+BF=EF
即GF=EF
∵AE=AG(已证明）
AF=AF
∴△AFG≌△AEF
∴∠GAF=∠BAG+∠BAF=∠EAF
∵∠BAF+∠EAF+∠DAE=90°
∴∠BAF+∠BAG+∠EAF=90°
即∠GAF+∠EAF=2∠EAF=90°
∴∠EAF=45°
2、过C做CM⊥AD交AD的延长线于M
∵ABCD是梯形,AB=BC
∴四边形ABCM是正方形
∴BC=AM=CM
把Rt△BCE绕C逆时针旋转90°，使BC和CM重合，得到Rt△CMN
∴∠BCE=∠MCN，CE=CN，BE=MN
∵∠DCE=45°
∴∠BCE+∠DCM=45°
即∠DNM+∠MCN=∠DCN45°
∴∠DCE=∠DCN
∵DC=DC，CE=CN
∴△DCE≌△DCM
∴DN=DE
∵点E是AB中点，即BE=AE=MN=1/2AB=5
∴AN=AM+MN=10+5=15
∴DN=DE=AN-AD=15-AD
在Rt△AED中
AD²+AE²=DE²
AD²+5²=(15-AD)²
AD²+25=225-30AD+AD²
AD=200/30=20/3
1）1、求证:AG=AE;
解∵ GB=DE，AB=AD
∴ RT△ADE≌RT△ABG（SAS）
∴∠AGB=∠AED
又 DE+BF=EF
∴GF=GB+BF=EF
∴△AFG≌△AEF（SAS）
∴ AG=AE
2、求∠EAF的度数 解：当证明RT△ADE≌RT△ABG（SAS）时， ∠GAB=∠EAD 即将∠EAD 搬到∠GAB处 ∴∠EAG=90° ∴∠EAF=∠EAG/2=90°/2=45°
2）作水平线EG，即可以证明S△ECD=S梯ABCD/2
作垂直线FD=10，FC=10-AD ∴CD=√[100+（10-AD ）²]=√[200-20AD+AD²]
CE²=10²+5²=125 CE=√125
作CD的高EH=√2/2*CE=√250/2
所以（AD+10）/2 *10=2（EH*CD）/2=√250/2*√[200-20AD+AD²]
5AD+50=√250/2*√[200-20AD+AD²]
10AD+100=√250*√[200-20AD+AD²]
100AD²+2000AD+10000=250*（200-20AD+AD²）
-150AD²+7000AD-40000=0
15AD²-700AD+4000=0
3AD²-140AD+800=0
（ 3AD-20）（AD-40）=0
AD=20/3 AD=40（大于下底，舍去）
3）∠B+∠D=180°而且是∠B=∠D=90°时，还有AC是∠BAD的角平分线，AF、AE分别是
∠BAC、∠DAC的角平分线，∠EAF=∠DAB/2时，可使得DE+BF=EF（角平分线上一点到两边距离相等）
首先可以证出△ADE≅△AGB(SAS)则∠1=∠2,AG=AE
由DE+BF=EF，GB=DE可知GF=EF,又因为AF=AF
所以△AGF≅△AEF(SSS),所以∠EAF=∠2+∠3，AG=AE
因为∠1+∠BAE=90°所以∠2+∠BAE=90°即∠GAE=90°
因为∠EAF=∠2+∠3,所以∠EAF=∠2+∠3=1/2*90°=45°
(2)将直角梯形先补成正方形，然后和（1）差不多，注意45°的使用最后列方程求解（如果不明白，我可以详细说明）
(3)
将△DAE绕A顺时针旋转得到△BHA,则HA=DA
因为∠B+∠D=180°，易证C,B,H共线
因为DE+BF=EF.然后与（1）相同,（如果不明白，我可以详细说明）
PS:遇到有公共端点的等线段，可以旋转，（1）中实际是旋转△DAE
