Question

一个高中数学题，求函数f(x)的表达式

已知二次函数y=f(x)的图像过原点，且f(x-1)=f(x)+x-1,求f(x)的表达式。 ※求详解※ 感激不尽啊 在线等

Answer 1

解：设二次函数表达式为f(x)=ax^2+bx+c,
∵函数图象过原点所以f(0)=c=0,
又∵f(x-1)=f(x)+x-1，
∴a(x-1)^2+b(x-1)=f(x)+x-1
左边=ax^2-2ax+a+bx-b
=ax^2+(b-2a)x+(a-b)
右边=ax^2+bx+x-1
=ax^2+(b+1)x-1
左边=右边，即对应系数相等，
∴b-2a=b+1,且a-b=-1
解以上方程组得a= -0.5,b=0.5,
所以f(x)的表达式为f(x)= -0.5x^2+0.5x

Answer 2

由于是二次函数，且过原点，待定系数法，设 f(x)＝ax²＋bx

那么， f(x－1)＝ a(x－1)²＋b(x－1)
则有 a(x－1)²＋b(x－1) ＝ ax²＋bx ＋x－1
展开整理，利用两边对应各项系数相等就可以列方程，求出a、b了

Answer 3

二次函数y=f(x)的图像过原点
设 f(x)=ax²+bx
则
f(x-1)=f(x)+x-1
a(x-1)²+b(x-1)=ax²+bx+x-1
ax²-2ax+a+bx-b=ax²+(b+1)x-1
ax²+(b-2a)x+a-b=ax²+(b+1)x-1
所以
b-2a=b+1
-2a=1
a=-1/2
a-b=-1
b=1/2
所以
f(x)=x²/2+x/2

Answer 4

f(x)=ax2+bx，f(0)=0,由f(x-1)=f(x)+x-1可得f(1)=0,f(2)=-1,求得a=-1/2,b=1/2.
即f(x)=-1/2x2+1/2x

Answer 5

设f(x)=ax^2+bx,则a(x-1)^2+b(x-1）=ax^2+bx+x-1
整理得（2a+1)x=2-b x=0时成立得b=2则（2a+1)x=0恒成立
所以a=-1/2
f(x)=-1/2x^2+2x