Question

高数高手请进，求助

导数为零的点不符合极限的保号性吗?
因为在该点的去心邻域内，求导定义式不恒定地大于0或者小于0。
所以，如果在某点的去心邻域内，f(x)在左邻域和右邻域符号不一致的话，该点的导数就是0？
问题补充：再比如limsin(0+△x),△x->0,在0点的左右邻域异号，也就是没有恒定的大于0或者小于0，也不等于0，此时极限为0

Answer 1

你对概念的掌握不是很清楚。
假设我们讨论A点。首先，A点要有极限，也就是说函数在A点连续！假如A点的极限是1（>0），那么由极限的保号性知道在A点附近一定有一个数>0。这和导数没有丝毫关系。因为可导必连续，连续不一定可导。A点肯定连续，但是不一定可导。
“所以，如果在某点的去心邻域内，f(x)在左邻域和右邻域符号不一致的话，该点的导数就是0？”
这句话完全错误，你对导数的定义还不清楚。建议你看完倒数的定义再思考一下。

追问

设x∈U(x0),f(x)≠c(c是常数)，f(x0)可导，且f(x)0时，{[f(x)-f(x0)]/(x-x0)}0
因f(x0)可导，上述的极限都存在，△x->0时，
右极限的作用域因为不等于U(x0),所以lim{[f(x)-f(x0)]/(x-x0)}不能在△x>0时使用极限的保号性
左极限同理；使用保号性则右极限0,那么在x0点的极限不存在，和f(x0)可导矛盾。这种情况怎么证明f‘(x0)=0？