Question

高一数学，急急急急急急

设函数f（x）=ax^2-2x+2,对于满足1<x<4的一切x的值都有f(x)>0,求实数a的取值范围

Answer 1

f(x)=ax²-2x+2>0
ax²>2x-2
a>(2x-2)/x²
要使f(x)=ax²-2x+2>0对任意1<x<4都成立历顷氏
那么 a>(2x-2)/x²对任乎游意1<x<4也都成立
所以a要大于(2x-2)/x²在1<x<4上的最大值
令g(x)=(2x-2)/x²=2/x-2/x²=-2(1/x-1/2)²+1/2
因肢散为1<x<4，所以1/4<1/x<1
那么当1/x=1/2时，g(x)max=g(1/2)=1/2
所以a>1/2

Answer 2

解：
当a=0时，f(x)=-2x+2，由蠢铅旁-2x+2>0得x<1，不符合题意，∴a≠0
当a>0时，欲使f(x)>激并0，x∈(1,4)等价于
(1)a>0，△=4-8a<0，∴a>1/2
(2)a>0，1/a>0，f(4)>0，∴无解
(3)a>0，1/带橡a<1，f(x)>0，∴a>1
当a<0时，欲使f(x)>0，x∈(1，4)，等价于f(1)>0，f(4)>0，∴a>0，a>3/8，∴a>3/8，与a<0矛盾，无解
综合上述，a>1/2

追问

为什么a>0还要分a>0,a<0和a=0三种情况呢？请详细讲解！若讲得通，则选为最佳答案。

Answer 3

这个其它分为4种情况

第一种 a=0 不成立
第二种 a不等于0，并且f(x)=ax^2-2x+2 1<x<4上单调递增求出a的范围
第三坦前种 a不等于0 并且f(x)=ax^2-2x+2 1<x<4上单调递减求出a的范让散清围
第四种 a不等于0 f(x)的只要使f(1)>0 并且f(4)>0求了a的范掘衡围

四种情况的并集就是a的取值范围

Answer 4

讨论a,得a>1