Question

已知各项均为正数的数列｛an}满足a1=1，a²(n+1)an+a(n+1)a²n+a²(n+1)-a²n=0

1. 求a2,a3的值
2. 求证：{1/an}是等差数列
3. 若bn=(2^n)/an+ana(n+1)，求数列{bn}的前n项和

Answer 1

解：1.当n=1时，求得：a2=1/2；当n=2时，求得：a3=1/3

2.由a²(n+1)an+a(n+1)a²n+a²(n+1)-a²n=0变形，
a(n+1)an*[a(n+1)+an]+[a(n+1)+an]*[a(n+1)-an]=0
所以：[a(n+1)+an]*[a(n+1)an+a(n+1)-an]=0
又因为｛an}是各项均为正数的数列，所以：a(n+1)an+a(n+1)-an=0，
再进行变形（左右两边同时除以a(n+1)an，得：1+1/an-1/a(n+1)=0
即：1/a(n+1)-1/an=1
所以数列{1/an}是等差数列

3.根据第二问可以求得an=n（n>=1）
所以bn=n*2^n+1/n*1/(n+1)
b1=1*2^1+1/1*1/2
b2=2*2^2+1/2*1/3
b3=3*2^3+1/3*1/4
……
bn=n*2^n+1/n*1/(n+1)
所以bn的前n项和Bn=[1*2^1+2*2^2+3*2^3+…+n*2^n]+[1/1*1/2+1/2*1/3+…+1/n*1/(n+1)]
前面一个方括号里用【错位相减法】，后面一个方括号里用【裂项相消】：
令Tn=1*2^1+2*2^2+3*2^3+…+n*2^n，
则2Tn=1*2^2+2*2^3+3*2^4+…+n*2^(n+1)，
两式相减可得：-Tn=2^1+2^2+2^3+…+2^n-n*2^(n+1)
所以Tn=(n-1)*2^(n+1)+2
所以Bn=(n-1)*2^(n+1)-1/(n+1)+3