Question

在△ABC中 ∠B=60° ∠BAC、∠BCA的平分线AD、CE交于点O,

1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD

Answer 1

我的答案：1、连接OB，过点O分别作BA、BC的垂线分别交BA、BC于点M、N；
2、由题可知点O为△ABC的内心，故OB平分∠ABC，则OM=ON，因为∠B=60°，所以∠BAC+∠BCA=120°，则∠OCA+∠OAC=120°/2=60°；
3、因为∠OEM=∠ABC+∠BCE=60°+∠BCE，∠ODN=∠BCA+∠OAC=∠BCE+∠ECA+∠DAC=∠BCE+60°，明显∠OEM=∠ODN；
4、在RT△OEM和RT△ODN中，有一天直角边相等，另外三个角相等，故两个三角形全等，所以对应的边相等，即OE=OD。

Answer 2

相似求解，比较麻烦。
△CDO∽△CEB，OD/BE=OC/BC。
由角平分线的性质，易知OE/OC=AE/AC。AE/BE=AC/BC。
利用以上三式
(OE/OC)(OC/BC)=OE/BC=(OD/AC)*(AE/BE)=(OD/AC)*(AC/BC)=OD/BC。
故OE/BC=OD/BC。即OE=OD。

Answer 3

在AC上截取AF=AE，连接OF
易证△AOE≌△AOF，则OE=OF
根据∠AOC=120°，可得∠COF=60°
于是△COF≌△COD
∴OF=OD
∴OE=OD