Question

关于两个重要极限的题目

求 LIM e*x / (1+1/x)*(x*2) 。（X趋于正无穷）的极限。
为什么 不能用两个重要极限 求出分母等于e*x 后等于1 而答案等于2分之一 。
为什么？？有大虾系统的告诉我下吗~ 为什么~~
答案为E的2分之一我也会算 ~就是不知道为什么这个题不能用两个重要极限这个定理。我想我一定有知识点缺漏～请大虾们指教

Answer 1

这问题是这样的：e^x / (1+1/x)^(x^2) =(e / (1+1/x)^x)^x
由于(1+1/x)^x趋于e，所以底数趋于1，指数x趋于无穷大，这是1的无穷大的情形，极限不是1，是未定式,，所以你不能直接用特殊极限，要借用其他方式解决。
设y=(e / (1+1/x)^x)^x
lny=x（1-ln(1+1/x)^x)
=x-x^2*ln(1+1/x)
设1/x=t，t趋于0，lim(x-x^2*ln(1+1/x)=lim(1/t-ln(1+t)/t^2))
=lim(t-ln(1+t))/t^2) (0/0,用罗比达法则）
=lim(1-1/(1+t))/2t=limt/(2t(1+t))=1/2
所以limy=e^(1/2)

Answer 2

你把题目写清楚来，把该加的括号加上，现在看不明白，这些符号之间到底是什么关系。

追问

lim e*x /[ (1+1/x)*(x平方)] 。（X趋于正无穷）的极限

追答

当表达式有比较复杂的关系的时候，不能分成几个步骤，把其中的一部分先求极限，然后再接着求极限的。
其实就看看你想用的重要极限就知道了
lim(n->+∞)(1+1/x)^x=e
这个你学的时候，证了半天对吧，但是用你的逻辑，哪要那么复杂，先把里面求极限得到1
1的任意次方还是1，所以很简单地得到了
lim(n->+∞)(1+1/x)^x=1 ！！！

追问

= =~好吧 。。。 谢谢你。。

Answer 3

极限在分母不等于0且分子分母都有极限时才可以这样运算的即lim（a/b）变成lim a/(lim b)的，分母不等于e*x，你算错了，不能把x拿到极限号外面（x是无穷 囧）要分母整体一起算，不过这题要先取对数再算，要用
ln(1+1/x)的泰勒展开

追问

就是 两个重要极限~ 是要整体才可以算是吧。
如果是X+ （1+1/x）*x 也不能用 两个重要极限 因为整体不是 是吗

追答

是的X+ （1+1/x）*x也不能用，必须整体算，在极限存在的条件下才能代入计算，就是说A/B中A的极限存在并且B的极限存在才能把极限号代入算,极限存在是说lim A算出来是一个数。
还有可以比较A和B的量级，就是相当于他们关于X的最高次项（和项的系数），如果是e的次方就量级高一些，都是e的次方可以先取对数再比较量级。比较量级的方法应该和泰勒展开差不多学的吧

Answer 4

1,。是因为当你x趋近于无穷时，你用重要极限求出分母的一个部分趋近于e然后直接写e^x是不对的，这样你就默认了 (1+1/x)*x中的x趋近于无穷而幂指函数中的x为常量,这就违背了求极限要整体求，不能说你趋近了而我没趋近的规律。而且你如果这样求就会有误差，无穷小量可以带入是因为误差是可以忽略不计的，你这个一个已经向前跑了（趋近于无穷）另一个却原地不动然后你在一月份，误差都被你忽略了
2与楼上所说的一样在极限存在的条件下才能代入计算，就是说A/B中A的极限存在并且B的极限存在才能把极限号代入算,极限存在是说lim A算出来是一个数。那么分母是无穷根本不是一个数不能代入计算了啦~~

Answer 5

(1+1/x)*(x*2)
你再看一看，怎么能用两个重要极限呢，是x→∞

追问

是啊 ~没错啊
为什么不能用这个极限 。