Question

高分求解一道高中数学探索题

定义运算* 满足1) x*x=x 2) (x*y)*z=(y*z)*x
求证: x*y=y*x
补充:题目中没有提到的一切规律都不能用,结合律,分配律都是不能用,只能用定义中提到的运算法则.鄙人不才,对此束手无策,请将证明的过程详细的写下,以便在下参透.
括号之间不存在任何的可以交换的定律,也就是说(x*x)*y不等于x*(x*y).
以下2种解法均错误,请大虾们帮帮忙..我在线等的,明天早上6点之前给答案的有重谢!
maji733我要证的是x*y=y*x
bssword用了结合律,很不幸的错了
pwlest 给个解答过程或是思路吧...其他人的错我已经犯过,请高人指点
据说是道难题...很难...很难...但我会等!顺便说一句,我是高三学生,这题是高三探索题.

Answer 1

有很多的解法好象。。。

首先用1的特点来解答

x*y
=x*y*1 (一的特性)
=(y*1)*x (将1看成第二条性质中的z)
=y*x (一的特性)

1的特性总不能不用吧。。。
这类题目要注意一些特殊数字代入后的巧妙用法
常用数字如1，0，-1等等
这样感觉条件还是多余的

想了一下其他的解法
不外乎是代入法的应用

给出一个我对于代入字母的应用吧
x*y
=(x*x)*y (应用了第一条性质)
=(x*y)*x (第二条性质 把上式中第二个x看成
是性质中的y,y则看成是z)
=(y*x)*x (同理 应用第二条性质)
到了这里是绝对不能应用结合率等于y*(x*x)

考虑从另一边入手 思考起来比较容易
类似的有
y*x
=(y*y)*x
=(y*x)*y
=(x*y)*y

接下来要证明两式相等
y*x*x与x*y*x两式注定要变成字母相同才可以
所以要用到第一条性质
我的解法如下（第三部有错，下面更正）
(y*x)*x
=y*y*x*x (括号不要了也不会影响计算顺序)
=y*x*x*y
=x*x*y*y
=x*y*y
=(x*y)*y
这样三步曲解决了这个问题

但是对于考试的题目
其实本质上都是游戏一般的题目
考一些小技巧而已

如果所有的代入法都可以解得出来的话
那么用数字进行替代应该是最佳捷径吧
再说了考场上真正有效的方法可不是花了大量的时间才解出来的方法
否则宁可提高其他基础题目的准确率
简单的题目拿满分才是考试的真正技巧

看到这题太晚了
不知能不能帮得上忙
鄙人尽力
几经修改做了这题目挺有趣的。。。
很久没有这么动脑子了。。。

我就是冲着高分来的
更冲者中华民族乐于助人的传统美德来的
呵呵。。。

再补充：
我所说的(括号不要了也不会影响计算顺序)
是因为这括号加上也是从左往右依次算
只是贪图书写的便利而已。。。
但是经过检查我发现由于丢了括号
不经意之间改动了计算顺序
也就是应用了交换率
所以我现在认定我的第二种解法是错误的
留着不改动了
第三部应改为如下就是正确的了
(x*y)*y
=((x*x)*y)*y
=((x*y)*x)*y
=(x*y)*(x*y)
=x*y
大家引以为戒啊 不要丢括号 小心为上

我承认解法1是有一点太巧
以至于无法完全符合本题命题所要的风格
推荐不要使用
如果有其他的方法的话

我提供了两种解法
其中第二种用了三个步骤
为的是能够更加容易地体现考试中常用的一种探索方式
这种证明题从两边各推导一点后
再把二者接起来
不过现在证明是错的
就算改了结构也不再明晰
其实也和黑羽小神的一样了
只是走了一些弯路 呵呵
这样就只剩下思想的空壳了

对于误解和错误我表示抱歉
鄙人文笔和水平有限呵
感谢黑羽小神的建议

另外
目前所知可用的字母替代
以黑羽小神的为佳
解释一下
这里应用到了两条性质的正逆用
证明等式题中以等式逆用尤为常用
以下解法是参考黑羽小神的
x*y
=(x*y)*(x*y) (性质1的逆用）
=(y*(x*y))*x (把（x*y）并正用性质2）
=((x*y)*x)*y (整个等式应用性质2)
=((x*x)*y)*y (这里是逆向应用性质2)
=(x*y)*y (应用性质1)
=y*x (原题得证)

这里应用了等式的逆向
才使本题得以解决
如果只用正向的。。。
也许可以解。。。很麻烦也许。。。想不出来

提一些思维性的东西
希望楼主不要局限于这一道题
触类旁通一些
数字替代、整体代换、正逆向转化等等这些常用方法要多探索一些
这也是探索题的目的
多想一想
可以受益终身的
高三了么
好好努力

Answer 2

可惜啊！这道题鄙人有解，就是太晚了．楼上的还是不懂这道题的实质．如果括号可以交换位置的话这道题没有任何的意义，所以楼上的解法23全部错误．而解法1是没有根据的，因为这是定义的新运算，所以*1不一定等于原式．楼主虽然说自己不才，可是实际上这些解法一定都想到过，所以提示里才会说到结合律的问题，楼上的回答基本上都用到了括号的交换律和结合律，因此都是错解．在茫茫十几种计算方法中只有一种是可行的，这才是本题最终的难点．
解法如下
x*y=(x*y)*(x*y) (这里用的是性质1）
=(y*(x*y))*x (整体代换用性质2）（难点在用整体）
=((x*y)*x)*y (继续使用性质2)(难点在明明需要证y*x但是要先把*y放到后面.这一步极难)
=((x*x)*y)*y (胜利在望了,继续使用性质2)
=(x*y)*y (使用性质1,合并x项)
=y*x (原题得证)(终极难点,其他做法居然都是错的)
看似普通的一道题,鄙人一共试了十几次.堪称是一道经典题.既然没帮上忙,楼主就看着办吧!

Answer 3

以x*x代x得x*y=(x*x)*y
再用性质2得(x*x)*y=(x*y)*x
再用性质2得(x*y)*x=(y*x)*x
到这里已经证明了 x*y=(y*x)*x……(1)
因为x*x=x
所以(y*x)*x=y*x
（这一步可能有争议，但这样确实没错。对于性质x*x=x，可理解为两个相同元素运算后结果不变，如y*y=y，也可以像我这样理解：任意一个元素与x运算结果仍是它本身，如y*x=y)
代入(1)就得到了x*y=y*x

Answer 4

x*x=x
x*y=(x*x)*y=(x*y)*x=(y*x)*x
上述参考PwlEast
y*y=y
y*x=(y*y)*x=(x*y)*y=(y*x)*x
所以x*y=y*x
说明,条件2 (x*y)*z=(y*z)*x中,z用y代替,则为
(x*y)*y=(y*y)*x,即(y*y)*x=(x*y)*y
z用x代替,x与y互换,则为(x*y)*y=(y*x)*x

Answer 5

性质“x*x=x”称为幂等律；性质“(x*y)*z=(y*z)*x”似乎称为循环律。性质“x*y=y*x”称为交换律。

证明如下：
x*y
=(x*x)*y ----用x=x*x代入
=(x*y)*x ----用循环律
=(y*x)*x ----用循环律
=((y*y)*x)*x ----用y=y*y代入
=((y*x)*y)*x ----内层括号用循环律
=(y*x)*(y*x) ----对外层括号用循环律
=y*x ----用幂等律
证毕