Question

高中数学不等式证明

Answer 1

证明：
x+y+z+3(xy+xz+yz)-3xyz
=x+y+z+x(y+z)+y(x+z)+z(x+y)+xy+xz+yz-xyz-xyz-xyz
=x+y+z+x(y+z)+y(x+z)+z(x+y)+xy(1-z)+xz(1-y)+yz(1-x)
由于0≤x,y,z≤1，那么，xy(1-z)+xz(1-y)+yz(1-x)≥0
由于0≤x,y,z≤1，那么，x²≤x，y²≤y，z²≤z，故，x+y+z≥x²+y²+z²。
由于x+y≥z，x+z≥y，y+z≥x，故，x(y+z)+y(x+z)+z(x+y)≥x²+y²+z²。
因此，x+y+z+x(y+z)+y(x+z)+z(x+y)+xy(1-z)+xz(1-y)+yz(1-x）≥2(x²+y²+z²)
也就是，2(x²+y²+z²)≤x+y+z+3(xy+xz+yz)-3xyz

Answer 2

额，3个式子导来导去。。。

Answer 3

左边先把2乘进去，用基本不等式，两边相约，再用题设条件