Question

非常急！！ 如图，在等边三角形ABC中，BD平分∠ABC，延长BC到E，使CE=CD，连接D,E

①小明同学说BD=DE，他说的对吗?说明理由
②小强说：‘BD平分∠ABC”改成其他条件，也能得到同样的结论，如何改？
③将已知中的“延长BC到E”改成“在BC上找一点E”，其他条件不变，你能判断△DCE的形状吗?并说出理由。

Answer 1

1、对。
因为，等边三角形ABC中，BD平分∠ABC
所以∠DBC=1/2∠ABC=30º ∠ACB=60º
因为：CD=CE
所以：∠E=∠CDE
又∵∠E+∠CDE=∠ACB=60º
∴∠E=30º=∠DBC
∴BD=DE
2、改为“BD是AC上的中线”也可。
∵BD是AC上的中线，⊿ABC是等边三角形
∴BD平分∠ABC，
由①，可得结论。
3、△DCE是等腰三角形或等边三角形
第一种情况，E在BC延长线上，即如图所示。
∵CD=CE∴⊿DCE是等腰三角形
第二种情况：E在线段BC上，
∵CD=CE, ∠DCB=60º
∴⊿DCE是等边三角形

Answer 2

第一问小明同学说的是对的，因为ABC是等边三角形，所以∠DCE=120°，则
∠DEC+∠E=60°，又CE=CD，所以∠DEC=∠E=30°，而∠DBC=30°，根据等角对等边，BD=DE
第二问也可以改成“BD垂直于AC”或者“BD为AC边上的中线”
其他条件不变，也能判断△DCE是等腰三角形，因为ABC是等边三角形，只要有CE=CD这个条件，其他的结论都能得到。

Answer 3

解：（1）BD=DE是正确的．理由如下：
∵△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，
∴∠DBC=30°，
∵∠DCE=120°，CE=CD，
∴∠E=30°，
∴BD=DE，
（2）我认为可以改为：BD为AC边上的高；
∵BD⊥AC，
∴∠DBC=30°，
由（1）可知∠E=30°，
∴BD=DE．
（3）等边三角形。理由：
∵△ABC为等边三角形
∴∠ACB=60°
又∵CE=CD
∴△DCE是等边三角形

Answer 4

①过点C做CM⊥DE于点M，
由题知，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，
则∠DBC=30°，∠DCB=60°，故∠BDC=90°，BD=√3CD。
因为CD=DE，则∠CDE=∠CED，△CDE是等腰三角形。
又因为∠CDE+∠CED=∠BCD=60°，
所以∠CDE=∠CED=30°，
因为CM⊥DE，所以DM=EM，∠CMD=∠CME=90°，
则CD=2CM，DM=EM=√3CM/2，即DE=√3CD=BD
②改为D是AC中点或者BD⊥AC。
③此时△DCE是等边三角形。因为此时在△DCE中，CD=CE，∠DCE=60°，即△DCE为顶角为60°的等腰三角形，故此时△DCE是等边三角形。

Answer 5

1.小明说的对，等边三角形，∠ACB为60度，所以∠DCE为120度，因为DC等于CE，所以∠E等于∠CDE等于30度，因为∠DBC为30度，所以∠DBC等于∠CDE，所以BD=DE
2.BD⊥AC，或者BD是∠ABC的角平分线
3.三角形DCE为等边三角形或等腰三角形，因为∠DCE不是60度，就是120度，DC=DE，所以不是等边就是等腰