Question

线性代数问题——β1、β2均是齐次方程组Ax=0的解

β1、β2均是齐次方程组Ax=0的解，为什么可以得出r(β1、β2)小于或等于
n-r(A)?β1、β2为什么是线性相关的？请具体详细！
我还是把整个题目告诉大家吧~其实是这样的！设4维列向量α1，α2，α3线性无关，且与4维列向量β1、β2均正交，，证明β1、β2线性相关。题目是其中一部分的解答过程，我不是很明白。

Answer 1

上面的解释都很好,更几何的说法是,对于A的每一行,所代表的向量,x都和它垂直(正交), 所以, x垂直于 A的所有行向量张成一个r(A)维的子空间, 那么x可以取其正交补空间中的任意一个值.

那么, β1、β2既然都属于这个补空间, 他们张成的空间维数当然不超过这个子空间的维数, 这就是 r(β1、β2) <= n - r(A)

同样, 如果r(A)<n-1的话, n-r(A)就大于1, β1、β2就不一定相关

Answer 2

。。。。。。
如果题目是这样那当然是线性相关。
a1,a2,a3与β1正交，那么必定线性无关，而全空间是四维空间，于是它们构成了全空间的一组基。
故β2可用a1,a2,a3,β1的线性组合来表示，即
β2=k1a1+k2a2+k3a3+k4β1,又由于β2与a1,a2,a3都
正交，故k1=k2=k3=0,于是β2=k4β1,二者线性相关。

Answer 3

2
0
0
1
0
0
0
2
0
2
1
1
0
3
1
-1
2
2
等价于
1
0
0
1/2
0
0
0
1
0
1
1/2
1/2
0
3
1
-1
2
2
等价于
1
0
0
1/2
0
0
0
1
0
1
1/2
1/2
0
0
1
-4
1/2
1/2
所以
x=
1/2
0
0
1
1/2
1/2
-4
1/2
1/2
你的答案是错的。

Answer 4

因为A的秩小于等于n

Answer 5

因为
解空间维数+r（A）=n
所以解空间维数等于 n-r(A）
而r(β1、β2)是解空间的由(β1、β2)生成的子空间的维数，当然小于等于解空间维数
所以
r(β1、β2)小于或等于 n-r(A）

β1、β2未必是线性相关的
不然解空间维数不恒为1了吗
。。。。。。。。。。。。。

那我也给你补充一下吧

题目是这样的话，就相当于
β1、β2均是齐次方程组Ax=0的解
其中A是由α1，α2，α3拼成的，所以r(A)=3
且n=4（4维全空间）
所以r(β1、β2)<=n-r(A）=1
所以两个向量张成1维空间（共线），或者0维空间（这种情况下都为0解）
总之是相关的