Question

设△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且满足（2a+c)BC向量乘BA向量+cCA向量乘CB向量=0 （1）求

角B的大小；
（2）若b=2√3，AB向量乘CB向量=-2，求a、c的值

Answer 1

(1)
∵(2a+c)BC向量乘BA向量+cCA向量乘CB向量=0
∴(2a+c)accosB+c*bacosC=0
∴(2a+c)cosB+bcosC=0
根据正弦定理：
（2sinA+sinC)cosB+sinBcosC=0
∴2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0
∴2sinAcosB+sin(C+B)=0
∴2sinAcosB+sinA=0
∴cosB=-1/2
∵B是三角形内角
∴B=120º
(2)
∵b=2√3,B=120º
根据余弦定理
b²=a²+c²-2accosB
∴12=a²+c²+ac
∵AB向量乘CB向量=-2
∴cacos120º=-2 ∴ac=4
∴a²+c²=8
∴(a-c)²=a²+c²-2ac=0
∴a=c=2

Answer 2

(1)原式等于(2a+2c)accosb+abccosc=0，化简得(2a+c)cosb+bcosc=0，上式可写为(2sina+sinc)cosb+sinbcosc=0=2sinacosb+sin(c+b)，而sin(c+b)=sin(180-a)=sina，所以有sina(2cosb+1)=0，因为a不等于0,所以2cosb+1=0，cosb=-1/2,所以120度。
(2)AB向量乘CB向量=accosb=-2=-1/2ac，cosb=a^2+c^2-b^2/2ac=-1/2，联立两方程得：a=c=2。