Question

在三角形abc中 求证：(a/1+a )+(b/1+a)+(c/1+c)＜3×(a+b+c)/(1+a+b+c) 求高人

Answer 1

证明：
∵a/(1+a)=[(1+a)-1]/(1+a)=1-[1/(1+a)]
∴原不等式左边可化为
3-[1/(1+a)+1/(1+b)+1/(1+c)]
显然，右边可化为
3-[3/(1+a+b+c)].
∴原不等式可化为：
1/(a+1)+1/(b+1)+1/(c+1)＞3/(1+a+b+c)
不妨设a≥b≥c.
此时上面不等式左边
1/(1+a)+1/(1+b)+1/(1+c)≥3/(1+a)
∵1+a+b+c≥1+a＞0
∴1/(1+a)＞1/(1+a+b+c)
∴3/(1+a)＞3/(1+a+b+c)
倒推上去即可。